Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Определение 13.3 Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.3)

где $ a$ , $ b$ , $ c$ -- положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения(13.3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: $ \vert x\vert\leqslant a$ , $ \vert y\vert\leqslant b$ , $ \vert z\vert\leqslant c$ .

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Доказывается это так же, как в предложении 12.1.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью $ xOy$ . Так как любая точка плоскости $ xOy$ имеет нулевую третью координату, $ {z=0}$ , то координаты точек эллипсоида на плоскости $ xOy$ удовлетворяют уравнению

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$(13.4)


По теореме 12.2 получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.3).




Рис.13.3.Сечение плоскостью $ xOy$


Аналогично, сечение в плоскости $ yOz$ дает эллипс

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

с полуосями $ b$ и $ c$ , а сечение плоскостью $ xOz$ -- эллипс

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

с полуосями $ a$ и $ c$ (рис. 13.4)

С помощью правила Лопиталя

 

  Пример С помощью правила Лопиталя найти пределы.

1)

2)

 

3)

4)

5)

Решение. 1)

.

2)

3)

4) Здесь лучше в знаменателе (в числителе нельзя!) использовать эквивалентность бесконечно малых, а затем применить правило Лопиталя.

Буква Э над знаком равенства означает применение эквивалентности бесконечно малых.

В последнем примере показано как разумно сочетать эквивалентность бесконечно малых и правило Лопиталя.

5)

 

Данный интеграл имеет одну особенность в точке , подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть , ; если , ; если , ; при этом исходный интеграл преобразуется следующим образом :

 стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

 Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежутку несобственные интегралы от разрывных функций могут превращаться в собственные интегралы при некоторых заменах переменных. Так, например, вычислим интеграл:  Интеграл имеет одну особенность в точке  где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть   если  если  При этом заданный несобственный интеграл преобразуется в собственный интеграл следующим образом:  (это уже собственный интеграл )

 Несобственные интегралы от разрывных функций в некоторых случаях могут превращаться в собственные интегралы при интегрировании по частям. Так, например, вычислим интеграл:  Этот интеграл имеет одну особую точку , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Реализуем метод интегрирования по частям: пусть   и , тогда  и  далее имеем:  (это уже собственный интеграл, который равен   ).

Математический анализ Типовые расчеты по математике