Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Пусть материальная точка движется по координатной прямой $ Oy$, и её положение в момент времени $ x$ имеет координату $ y=f(x)$. Средняя скорость точки за произвольный промежуток времени $ [x_0;x_1]$, за который точка перемещается из положения $ y_0=f(x_0)$ в положение $ y_1=f(x_1)$, определяется как $ v_{[x_0;x_1]}=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$. Если мы обозначим протекший промежуток времени через $ h$, то $ x_1=x_0+h$ и $ y_1-y_0=f(x_0+h)-f(x_0)$, поэтому $ v_{[x_0;x_0+h]}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, при $ h>0$.

Мгновенная скорость точки в момент $ x_0$ определяется как предел средней скорости за промежуток времени от $ x_0$ до $ x_0+h$ ($ h>0$), при условии $ h\to0$. Таким образом, получаем формулу, служащую определением мгновенной скорости в момент $ x_0$:

$\displaystyle v_+({x_0})=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$(4.1)

Можно также рассматривать промежутки времени, протекшие до момента $ x_0$, то есть промежутки от $ x_0-h$ до $ x_0$. Тогда средняя скорость точки $ y$ за этот промежуток времени будет равна $ v_{[x_0-h;x_0]}=\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$, при $ h>0$. Если положить $ k=-h<0$, то, очевидно, $ v_{[x_0+k;x_0]}=\dfrac{f(x_0+k)-f(x_0)}{k}$, при $ k<0$. При этом придётся определять мгновенную скорость в момент $ x_0$ формулой

$\displaystyle v_-({x_0})=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}= \lim_{k\to0-}\dfrac{f(x_0+k)-f(x_0)}{k}.$(4.2)

[an error occurred while processing this directive]

Определение 4.1 Число $ v_+(x_0)$ мы будем называть правой производной, или производной справа, функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначать $ f'_+(x_0)$ или $ f'(x_0+)$, а число $ v_-(x_0)$-- левой производной, или производной слева, функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначать $ f'_-(x_0)$ или $ f'(x_0-)$. Иногда для уточнения говорят, что эти производные вычислены по переменной $ x$.

Напомним ещё раз, что механический смысл как левой, так и правой производной координаты $ y=f(x)$ по времени $ x$-- это мгновенная скорость движения, вычисленная в момент $ x_0$, но либо по интервалам времени, предшествующим $ x_0$, либо по интервалам, последующим $ x_0$. Эти две мгновенных скорости не обязаны, вообще говоря, совпадать: если тело покоилось до момента $ x_0$, а затем двинулось с постоянной скоростью $ v>0$, то мгновенная скорость, вычисленная по предшествующим интервалам, очевидно, равна $ f'_-(x_0)=0$ (так как до момента $ x_0$ тело покоилось), а мгновенная скорость, вычисленная по последующим интервалам времени, равна $ f'_+(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{vh}{h}=v$ ($ vh$-- это изменение координаты $ y$ точки, движущейся со скоростью $ v$, за промежуток времени продолжительности $ h$ с момента $ x_0$ до момента $ x_0+h$). Эти две мгновенных скорости различны

 Пример Найти предел функции .

Решение. Здесь, как впрочем и во всех предыдущих примерах, имеем неопределенность . Так как знаменатель одночлен, то можно применить эквивалентность 1-го порядка:

 

Для числителя имеем:

.

Данный интеграл имеет одну особенность в точке , подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть , ; если , ; если , ; при этом исходный интеграл преобразуется следующим образом :

 стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

 Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежутку несобственные интегралы от разрывных функций могут превращаться в собственные интегралы при некоторых заменах переменных. Так, например, вычислим интеграл:  Интеграл имеет одну особенность в точке  где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть   если  если  При этом заданный несобственный интеграл преобразуется в собственный интеграл следующим образом:  (это уже собственный интеграл )

 Несобственные интегралы от разрывных функций в некоторых случаях могут превращаться в собственные интегралы при интегрировании по частям. Так, например, вычислим интеграл:  Этот интеграл имеет одну особую точку , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Реализуем метод интегрирования по частям: пусть   и , тогда  и  далее имеем:  (это уже собственный интеграл, который равен   ).

Математический анализ Типовые расчеты по математике