Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 

        Определение 13.9   Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.         

 

Рассмотрим уравнение вида

 

$\displaystyle F(x,y)=0$(13.17)

 

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси $ Oz$ . Пусть $ M_0 (x_0;y_0;z_0)$  -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (13.17). Поскольку в это уравнение не входит явно переменная $ z$ , ему будут удовлетворять координаты всех точек $ M(x_0;y_0;z)$ , где $ z$  -- любое число. Следовательно, при любом $ z$ точка $ M$ лежит на поверхности, определяемой уравнением (13.17). Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку $ M_0$ параллельно оси $ Oz$ . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением (13.17), составлена из прямых, параллельных оси $ Oz$ , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости $ xOy$ уравнение (13.17) определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка, а это значит, что уравнение  (13.17), их задающее будет иметь вид (13.1).

 

 

        Определение 13.10   Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$(13.18)

называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$(13.19)

называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением
$\displaystyle y^2=2px,$(13.20)

называется параболическим цилиндром.         

 

Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением (13.18), или уравнением (13.19), или (13.20), достаточно нарисовать на плоскости $ xOy$ направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси $ Oz$ . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках 13.27, 13.29 и 13.31, а их объемные изображения -- на рисунках 13.28, 13.30 и 13.32.




Рис.13.27.Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений





Рис.13.28.Эллиптический цилиндр





Рис.13.29.Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений





Рис.13.30.Гиперболический цилиндр




Рис.13.31.Изображение параболического цилиндра с помощью сечений



Рис.13.32.Параболический цилиндр

Пример. График функции  получаем из графика сжатием в 2 раза ( рис.6а ), а график функции  - из графика растяжением в 2 раза ( рис.6б).

 


 


 

 Рис.6б

График функции  получаем из графика функции  растяжением от оси OX в k раз при , или сжатием к оси OX в  раз при 0<k<1 .

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Математический анализ Типовые расчеты по математике