Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Формулы и их доказательства для пространственного случая аналогичны плоскому случаю (пункт 3.5).

Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке и осями , , и "новая" с началом в точке и осями , , , причем оси одной системы координат соответствено параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.

Пусть начало новой системы координат имеет в старой системе координаты . Пусть  -- некоторая точка пространства с координатами в старой системе координат и  -- в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки задается формулами, аналогичными формулам (12.11):

(13.21)

Справедливо и предложение, аналогичное предложению 12.7.

  Предложение 13.1   Пусть некоторая поверхность задана уравнением

Тогда в системе координат с началом в точке и осями , , , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид .    

Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.

Пример 3.3. Построить график функции . Решение. Так как ,то функция четная и график ее симметричен относительно оси OY. Значения x, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, обращается в нуль, являются недопустимыми для x и одновременно они помогают найти вертикальные асимптоты. Найдем их.

Имеем:

 

  или 

 .

График имеет четыре вертикальные асимптоты

.

Определим нули функции. Имеем:

  или 

 

 .

Итак, на оси OX имеется пять точек графика функции:

(-2;0), (-1;0), (0;0), (1;0), (2;0). График функции имеет четыре асимптоты. Для построения графика необходимо знать с какой стороны ветви графика приближаются к асимптотам. Для этого достаточно определить интервалы знакопостоянства функции. Напомним, что

.

Решим неравенство

 

1)   или 2) 

   

  или  Ǿ

Итак, если , то y>0 и, следовательно, если  и , то . Поэтому график функции в интервале 

(-2;2) расположен ниже оси OX, а в интервалах (-∞;-2), (2;+∞) – выше оси OX ( рис.13 ).

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Математический анализ Типовые расчеты по математике