Математика в примерах и задачах

Пример 13.2 Нарисуйте поверхность

Решение. Выделим полные квадраты по переменным

(см. пример 12.1):

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$

Отсюда

$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$

Разделим обе части на 4:

$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$

Введем новую систему координат с началом в точке

, получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$

Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( $O_1\tilde y$ ) и аппликат ( $O_1\tilde z$ ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью $\tilde xO_1\tilde z$ получаем эллипс с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$

Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях $O_1\tilde x$ и $O_1\tilde y$ . В сечении плоскостью $\tilde xO_1\tilde y$ получаем гиперболу с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Ее мнимая ось лежит на оси $O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $O_1\tilde x$ , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью $\tilde yO_1\tilde z$ получаем равностороннюю гиперболу с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde z^2}{2^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Ее мнимая ось лежит на оси $O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $O_1\tilde z$ , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости $\tilde xO_1\tilde z$ . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости $\tilde xO_1\tilde z$ . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 13.33). Объемное изображение приведено на рис. 13.34.

Рис.13.33.Изображение поверхности с помощью сечений

Рис.13.34.Объемное изображение поверхности

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

Пусть в несобственном интеграле второго рода подынтегральная функция непрерывна при Точка есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную: (**) . Если интеграл сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.