Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

        Определение 4.3   Пусть дана функция $ f(x)$, и $ x_0$ -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение $ {\Delta}x$ и рассмотрим приращение функции
$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0).$
Если это приращение $ {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)$ можно представить в виде
$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x),$
где величина $ A(x_0)$ не зависит от приращения $ {\Delta}x$, а $ {\alpha}(x_0;{\Delta}x)$ -- бесконечно малая при базе $ {\Delta}x\to0$ величина, имеющая больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, то произведение $ A(x_0){\Delta}x$ называется дифференциалом функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначается $ df(x_0;{\Delta}x)$ или просто $ df$.     

Таким образом, дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это функция двух аргументов $ x_0$ и $ {\Delta}x$, причём от переменного приращения $ {\Delta}x$ дифференциал зависит линейно ($ {\Delta}x$ входит в выражение, задающее $ {\Delta}f$, как множитель, стоящий в первой степени). Заметим, что в формуле

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=df(x_0;{\Delta}x)+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$

второе слагаемое в правой части имеет порядок малости, больший, чем у $ {\Delta}x$, и, следовательно, при $ A(x_0)\ne0$ больший, чем у $ df(x_0;{\Delta}x)$. Поэтому дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это главная, линейная по $ {\Delta}x$, часть приращения функции.

        Теорема 4.3   Функция $ f(x)$ имеет дифференциал $ df(x_0;{\Delta}x)$ в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную $ f'(x_0)$ в этой точке; при этом
$\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$
[an error occurred while processing this directive]

        Доказательство.     Пусть функция $ f(x)$ имеет дифференциал, то есть её приращение можно представить в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$. Разделим обе части равенства на $ {\Delta}x$:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0)+\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}.$

При $ {\Delta}x\to0$ в правой части предел первого слагаемого равен $ A(x_0)$, поскольку эта величина не зависит от $ {\Delta}x$ и, следовательно, при вычислении предела считается постоянной. Далее,

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}=0,$

так как, по определению дифференциала, $ {\alpha}$ имеет более высокий порядок малости, нежели $ {\Delta}x$. Значит, существует предел

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0).$

Но этот предел, по определению, равен производной $ f'(x_0)$. Значит, функция имеет производную в точке $ x_0$, и $ f'(x_0)=A(x_0)$, откуда

$\displaystyle df=A(x_0){\Delta}x=f'(x_0){\Delta}x.$
[an error occurred while processing this directive]

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x_0)$. Это означает, что $ {\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=f'(x_0)}$. По теореме о связи пределов и бесконечно малых, это эквивалентно тому, что величина $ {{\beta}(x_0;{\Delta}x)=\dfrac{{\Delta}f(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}-f'(x_0)}$ является бесконечно малой. Умножим обе части последнего равенства на $ {\Delta}x$ и получим:

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x+{\beta}(x_0;{\Delta}x){\Delta}x.$

Получили представление приращения функции в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}$, где $ A(x_0)=f'(x_0)$, а величина $ {\alpha}={\beta}{\Delta}x$, очевидно, имеет больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, поскольку $ \dfrac{{\alpha}}{{\Delta}x}={\beta}\to0$ при $ {\Delta}x\to0$. Тем самым, функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ дифференциал, который имеет вид $ df=f'(x_0){\Delta}x$.     

Геометрический смысл дифференциала $ df(x_0;{\Delta}x)$ мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная $ f'(x_0)$ -- это угловой коэффициент $ k$ касательной к графику функции при $ x=x_0$, то дифференциал $ df=f'(x_0){\Delta}x=k{\Delta}x$ -- это приращение ординаты $ Y$ точки касательной

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=kx+b$

к графику функции $ y=f(x)$, когда абсцисса точки касательной получает приращение $ {\Delta}x$:

$\displaystyle {\Delta}Y=(k(x_0+{\Delta}x)+b)-(kx_0+b)=k{\Delta}x.$

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

        Замечание 4.6   Заметим, что для функции $ f(x)=x$ производная равна 1, так что дифференциал $ df(x;{\Delta}x)=dx$ равен $ 1\cdot{\Delta}x={\Delta}x$, то есть $ dx={\Delta}x$. Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной $ {\Delta}x$ писать её дифференциал $ dx$. При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции $ f(x)$
$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$
    
        Замечание 4.7   Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент $ dx={\Delta}x$, от которого $ df$ зависит линейно, и пишут короче:
$\displaystyle df(x)=f'(x)dx.$
Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов $ x$ и $ dx$, линейная по $ dx$.     
        Замечание 4.8   Поскольку для функции $ y=f(x)$ дифференциал записывается как $ dy=df(x)=f'(x)dx$, то, деля на $ dx$, получаем
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{dy}{dx}(x),$
что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби $ \dfrac{dy}{dx}$ смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.     

 

Пример 3.5. Построить график дробно-линейной функции .

Решение. Преобразуем данную функцию, выделив целую часть

.

Так как при (или ), то x = -1 – вертикальная асимптота; при  (или )  и поэтому y = 2 – горизонтальная асимптота. Строим асимптоты x =-1 и y =2. Графиком служат две ветви гиперболы, расположенные во 2-ой и 4-ой четвертях относительно построенных асимптот (перед дробью знак минус). Для более точного построения графика следует определить точки пересечения графика с осями координат. При x = 0 y =-2, при y = 0 x = 1, то есть график нижней ветви гиперболы проходит через точки (0;-2) и (1;0). Верхняя ветвь гиперболы строится симметрично относительно точки пересечения асимптот (рис.15). 

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Математический анализ Типовые расчеты по математике