Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Определение 10.10 Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости-- двумерным векторным пространством, в пространстве-- трехмерным векторным пространством.

Легко проверить, что если $ L$ -- какое-то векторное пространство, $ {\bf a},{\bf b} \in L$ , $ {\alpha}$ -- число, то $ {{\bf a}+{\bf b}}\in L$ и $ {\alpha}{\bf a}\in L$ .

Определение 10.11 Линейной комбинацией векторов $ {{{\bf a}}_1,\dots, {{\bf a}}_s}$ с коэффициентами$ {\alpha}_1,\dots,{\alpha}_s$ называется вектор $ {\alpha}_1{{\bf a}}_1+ \ldots+{\alpha}_s {{\bf a}}_s$ .




Рис.10.10.Примеры линейных комбинаций

[an error occurred while processing this directive]

Векторы d,f,g на рисунке 10.10 и $ {{\bf h}=0}$ являются линейными комбинациями векторов a,b,c: $ {{\bf d}}=2{{\bf a}}+(-1){{\bf b}}+(-3){\bf c}$ , $ {{\bf f}}=0\cdot {{\bf a}}+2{{\bf b}}+(-2){{\bf c}}$ , $ {{\bf g}}=1\cdot {{\bf a}}+0.5{{\bf b}}+3{{\bf c}}$ , $ {{\bf h}}=0\cdot {{\bf a}}+0\cdot {{\bf b}}+0\cdot {{\bf c}}$ .

Будем говорить, что векторbраскладывается по векторам$ {{\bf a}}_1,\dots,{{\bf a}}_s$ , если b является линейной комбинацией этих векторов.

Предложение 10.1 Если $ {{\bf a}}\ne 0$ , то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде $ {{{\bf b}}={\lambda}{{\bf a}}}$ , где $ {\lambda}$ -- число.

Доказательство. В соответствии с определением 10.9 умножения вектора на число $ {{{\bf b}}=\left (-\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{{\bf a}}\vert}\right){{\bf a}}}$ , если b имеет направление, противоположное a, и $ {{{\bf b}}=\left(\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{{\bf a}}\vert}\right) {{\bf a}}}$ в противном случае. Таким образом, $ {{\lambda}=-\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{{\bf a}}\vert}}$ или $ {{\lambda}=\dfrac{\vert{{\bf b}}\vert}{\vert{\bf a}\vert}}$ .

Замечание 10.2 Предложение 10.1 можно сформулировать следующим образом. Пусть $ L$ -- одномерное векторное пространство, $ {{\bf e}}_1$ -- система векторов пространства $ L$ , состоящая из одного ненулевого вектора. Тогда любой вектор из $ L$ раскладывается по этой системе векторов единственным образом.

Предложение 10.2 Пусть a и b два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор c, компланарный с векторами a и b, раскладывается по ним, причем единственным образом.

Доказательство. Заметим, что $ {{\bf a}}\ne 0$ и $ {{\bf b}}\ne 0$. Если вектор c коллинеарен вектору a или b, то в соответствии с предложением 10.1c будет представим в виде линейной комбинации векторов a и b, где, соответственно, коэффициент при b или a равен нулю.

Если вектор c не коллинеарен ни одному из векторов a и b, то проведем следующие построения. Передвинем векторы a,b и c параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке $ O$ . По векторам a и b проведем прямые $ l_1$ и $ l_2$ соответственно. Через конец вектора c проведем прямые параллельно векторам a и b до пересечения с прямыми $ l_1$ и $ l_2$ (рис. 10.11).




Рис.10.11.

[an error occurred while processing this directive]

Очевидно, что $ {{\bf c}}=\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}$ . Вектор $ \overrightarrow {OA}$ коллинеарен вектору a и в силу предложения 10.1$ {\overrightarrow {OA}={\alpha}{\bf a}}$ , где $ {\alpha}$ -- число. По тем же причинам $ {\overrightarrow {OB}={\beta} {\bf b}}$ . Следовательно, $ {{{\bf c}}={\alpha}{{\bf a}}+{\beta}{{\bf b}}}$ , то есть вектор раскладывается по векторам a и b.

Замечание 10.3 Предложение 10.2 можно сформулировать следующим образом. Пусть $ L$ -- двумерное векторное пространство, $ {{\bf e}}_1,{{\bf e}}_2$ -- система неколлинеарных векторов из $ L$ . Тогда любой вектор из $ L$ раскладывается по этой системе единственным образом.

Предложение 10.3 Пусть a,b и c-- некомпланарные векторы. Тогда любой вектор d раскладывается по этим векторам.

Доказательство. Среди векторов a,b,c нет пары коллинеарных, так как в противном случае векторы a,b,c были бы компланарны.

Если вектор d является компланарным с парой векторов a,c, парой b,c или парой a,c, то в силу предложения 10.2 вектор d раскладывается по векторам a,b,c, где в соответствующей линейной комбинации один из коэффициентов окажется нулевым.

В общем случае выполним следующие построения. Передвинем векторы a,b,c,d параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке $ O$ . Через пару векторов a,b проведем плоскость $ {\bf П}_1$ , через пару b,c-- плоскость $ {\bf П}_2$ ,через пару a,c-- $ {\bf П}_3$ . Через конец вектора d проведем плоскости $ {\bf П}_4,{\bf П}_5,{\bf П}_6$ параллельно плоскостям $ {\bf П}_1,{\bf П}_2, {\bf П}_3$ соответственно. Эти шесть плоскостей ограничивают параллелепипед, диагональю которого служит вектор d (рис. 10.12).




Рис.10.12.


Очевидно, что $ {{\bf d}}=\overrightarrow {OC_1}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OO_1}$ , $ {\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OB}}$ . Следовательно, $ {{\bf d}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OO_1}}$ . В силу предложения 10.1 $ {\overrightarrow {OA}={\alpha}{\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\beta} {\bf b}}$ , $ {\overrightarrow {OO_1}={\gamma}{\bf c}}$ . Поэтому $ {{\bf d}={\alpha}{{\bf a}}+{\beta}{{\bf b}}+{\gamma}{{\bf c}}}$ , то есть d раскладывается по векторам a,b,c.

В соответствии с предложением 10.3 и замечаниями 10.2, 10.3 к предложениям 10.1 и10.2 можно сделать вывод, что в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

Определение 10.12 Базисом векторного пространства$ L$ будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

Слова "упорядоченная система векторов" означают, что указан порядок перечисления векторов.

Определение 10.13 Координатами (или компонентами) вектора a в базисе $ {\bf e}_1\dots{\bf e}_s$ называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса.

Для указания, что вектор a имеет координаты $ {\alpha}_1,\dots {\alpha}_s$ , мы будем использовать запись $ {{\bf a}=({\alpha}_1,\dots {\alpha}_s)}$ .

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.

Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для простоты записи проведем для случая двумерного пространства. Читатель без труда повторит их для пространства любой размерности.

Предложение 10.4 При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть $ {{\bf a}=({\alpha}_1,{\alpha}_2)}$, то есть $ {{\bf a}={\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2}$ . Тогда $ {\lambda}{\bf a}= {\lambda}({\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2)=({\lambda}{\alpha}_1){\bf e}_1+({\lambda}{\alpha}_2){\bf e}_2$ . Так как последняя запись дает разложение вектора $ {\lambda}{\bf a}$ по векторам базиса $ {\bf e}_1,{\bf e}_2$ , то произведения $ {\lambda}{\alpha}_1$ , $ {\lambda}{\alpha}_2$ являются координатами вектора $ {\lambda}{\bf a}$ , $ {{\lambda}{\bf a}=({\lambda}{\alpha}_1,{\lambda}{\alpha}_2)}$ .

Предложение 10.5 При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Доказательство. Пусть $ {{\bf a}=({\alpha}_1,{\alpha}_2)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2)}$ . Тогда $ {{\bf a}={\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2}$ , $ {{\bf b}={\beta}_1{\bf e}_1+{\beta}_2{\bf e}_2}$ ,

$\displaystyle {\bf a}+{\bf b}=( {\alpha}_1{\bf e}_1+{\alpha}_2{\bf e}_2)+({\be... ..._2{\bf e}_2)=({\alpha}_1+{\beta}_1){\bf e}_1+ ({\alpha}_2+{\beta}_2){\bf e}_2,$

то есть $ {{\bf a}+{\bf b}=({\alpha}_1+{\beta}_1, {\alpha}_2+{\beta}_2)}$ .

Дадим теперь такое название множеству всех первообразных данной функции:

        Определение 1.1   Пусть $ f(x)$  -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для $ f(x)$ называется неопределённым интегралом от $ f(x)$ и обозначается $ \int f(x)\,dx$ . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции $ f(x)$ называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция $ f(x)$ , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции $ f(x)$ состоит из функций вида $ F(x)+C$ , где $ F(x)$  -- какая-либо фиксированная первообразная для $ f(x)$ , а $ C$  -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция $ f(x)$ . Поэтому можно написать такую формулу:

$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C.$

(Точнее было бы $ \int f(x)\,dx=\{F(x)+C\}$ , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида $ F(x)+C$ , писать в данной ситуации не принято.)

Итак, для того чтобы доказать равенство $ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ , достаточно проверить, что $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , то есть что $ F'(x)=f(x)$ . Поэтому таблица неопределённых интегралов для многих часто встречающихся функций сразу следует из таблицы производных, которую мы получили в первом семестре.

1) Поскольку $ (x^m)'=mx^{m-1}$ , то при $ m\ne0$ $ (\frac{1}{m}x^m)'=x^{m-1}$ и $ (\frac{1}{n+1}x^{n+1})'=x^n$ , если взять $ m=n+1$ . Поэтому при $ n\ne-1$

$\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C.$

В частности, получаем при $ n=0$ (заметим, что $ x^0=1$ ):

$\displaystyle \int\,dx=x+C,$

при $ n=1$ (тогда $ x^1=x$ ):

$\displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^2+C,$

при $ n=2$ :

$\displaystyle \int x^2\,dx=\frac{1}{3}x^3+C,$

при $ n=-2$ (тогда $ x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C$

(заметим, что здесь $ C$  -- кусочно постоянная величина, принимающая постоянные значения $ C_1$ при $ x<0$ и $ C_2$ при $ x>0$ ), при $ n=\frac{1}{2}$ (тогда $ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ ):

$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3/2}x^{3/2}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C,$

при $ n=-\frac{1}{2}$ (тогда $ x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{1/2}x^{1/2}+C=2\sqrt{x}+C,$

при $ n=-\frac{1}{3}$ (тогда $ x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\frac{1}{2/3}x^{2/3}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+C$

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная, поскольку подынтегральная функция задана на объединении двух интервалов $ (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ ), и т. п.

2) Пусть $ n=-1$ . Тогда $ \int x^{-1}\,dx=\int\frac{dx}{x}$ не задаётся формулой предыдущего пункта. Однако, согласно таблице производных, при $ x>0$ мы имеем $ (\ln x)'=\frac{1}{x}$ , следовательно, $ F(x)=\ln x=\ln\vert x\vert$  -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $ (0;+\infty)$ . Проверим, что при $ x<0$ функция $ \ln\vert x\vert=\ln(-x)$  -- первообразная для $ \frac{1}{x}$ на интервале $ (-\infty;0)$ . Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции получаем

$\displaystyle (\ln(-x))'=\frac{1}{-x}(-x)'=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.$

Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

 Рассмотрим интегралы вида

I. .

II. .

III. .

IV. .

 Выделяя из квадратного трехчлена ах2 +bx + c полный квадрат запишем его в виде ах2 +bx + c = а(х +b)2 + q. Если в интегралах I, II, III сделать замену х + b = z, то получим интегралы

I¢. .

II¢. .

III¢. .

 Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сводится к вычислению интегралов вида

, , ,

,  ,

каждый из которых представляет собой комбинацию двух интегралов, один из которых табличный, а другой сводится к табличному, применяя равенство d(z2 ± a2) = 2z dz. Интегралы  и  не входят в таблицу (см. таблицу простейших интегралов), но они уже были вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встречаются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то предлагается соответствующие первообразные просто запомнить. Поэтому эти интегралы также называют табличными:

Математический анализ Типовые расчеты по математике