Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$;
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$);
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$.

[an error occurred while processing this directive]

Определение 1.1 Пусть $ A$ и $ B$-- два произвольных множества. Функцией $ f$ из $ A$ в $ B$ называется соответствие между элементами множества $ A$ и множества $ B$, при котором каждому элементу $ x\in A$ сопоставляется какой-либо один элемент $ {y\in B}$. При этом $ y$ называется значением функции $ f$ на элементе $ x$, что записывается как $ {y=f(x)}$ или $ f:x\mapsto y$. Тот факт, что функция $ f$ переводит элементы $ x\in A$ в элементы $ y\in B$, записывается так: $ f:A\to B$. Множество $ A$ называется областью определения функции $ f$ и обозначается $ \mathcal{D}(f)$.

Рис.1.1.Множество $ A$ отображается функцией $ f$ в множество $ B$


Площадь в полярных координатах

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки $ M$ служат два числа $ (r;{\varphi})$ ($ r=\vert OM\vert$  -- полярный радиус, $ {\varphi}=\angle MOx$  -- полярный угол).

Рис.6.4.



Уравнение, задающее зависимость величины $ r$ от полярного угла $ {\varphi}$ ,

$\displaystyle r=f({\varphi}),$

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция $ f({\varphi})$ непрерывна при $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ . Рассмотрим область $ \mathcal{D}$ на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f({\varphi}),\ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (эта область заштрихована на следующем чертеже).

Рис.6.5.



Найдём площадь области $ \mathcal{D}$ , вначале приблизив область ступенчатой фигурой следующего устройства. Область изменения угла $ {\varphi}$ , то есть отрезок $ [{\alpha};{\beta}]$ , разобьём на части точками деления

$\displaystyle {\alpha}={\varphi}_0<{\varphi}_1<\ldots<{\varphi}_{n-1}<{\varphi}_n={\beta}$

и выберем на каждом участке $ [{\varphi}_{i-1};{\varphi}_i]$ некоторую отмеченную точку $ \ov{\varphi}_i$ . Получаем размеченное разбиение $ \Xi$ отрезка $ [{\alpha};{\beta}]$ . Приближённо будем считать площадь $ \wt S_i$ сектора области $ \mathcal{D}$ , лежащего между лучами $ {\varphi}={\varphi}_{i-1}$ и $ {\varphi}={\varphi}_i$ , равной площади $ S_i$ кругового сектора с тем же центральным углом $ {\Delta}{\varphi}_i={\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}$ и радиусом, равным $ r_i=f(\ov{\varphi}_i)$ (см. рис.):

Рис.6.6.



Площадь кругового сектора подсчитывается по формуле

$\displaystyle S_i=\frac{1}{2}r_i^2{\Delta}{\varphi}_i=\frac{1}{2}(f(\ov{\varphi}_i))^2({\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}).$

Значит, площадь всей области приближённо равна интегральной сумме

$\displaystyle \sum_{i=1}^nS_i= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(\ov{\varphi}_i))^2({\varphi}_i-{\varphi}_{i-1}),$

построенной по выбранному размеченному разбиению отрезка $ [{\alpha};{\beta}]$ для функции

$\displaystyle g({\varphi})=\frac{1}{2}(f({\varphi}))^2.$

При неограниченном измельчении разбиения $ \Xi$ , то есть при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области $ \mathcal{D}$ . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции $ g({\varphi})$ даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\frac{1}{2}\int_{{\alpha}}^{{\beta}}(f({\varphi}))^2\;d{\varphi}.$

Более кратко эту формулу можно записать так:

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\frac{1}{2}\int_{{\alpha}}^{{\beta}}r^2\;d{\varphi},$(6.3)

где имеется в виду, что вместо полярного радиуса $ r$ нужно подставить его выражение через полярный угол $ {\varphi}$ для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

        Пример 6.3   Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$ (см. рис.).

Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

 Рассмотрим интегралы вида

I. .

II. .

III. .

IV. .

 Выделяя из квадратного трехчлена ах2 +bx + c полный квадрат запишем его в виде ах2 +bx + c = а(х +b)2 + q. Если в интегралах I, II, III сделать замену х + b = z, то получим интегралы

I¢. .

II¢. .

III¢. .

 Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сводится к вычислению интегралов вида

, , ,

,  ,

каждый из которых представляет собой комбинацию двух интегралов, один из которых табличный, а другой сводится к табличному, применяя равенство d(z2 ± a2) = 2z dz. Интегралы  и  не входят в таблицу (см. таблицу простейших интегралов), но они уже были вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встречаются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то предлагается соответствующие первообразные просто запомнить. Поэтому эти интегралы также называют табличными:

Математический анализ Типовые расчеты по математике