Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров.
        Определение 14.2   Суммой матриц $ A$ и $ B$ размеров $ m\times n$ является матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .         

Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&3&1\\ -1&2&4\end{array}\right)+\left(\b... ...-1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}5&3&3\\ 0&0&3\end{array}\right).$
        Определение 14.3   Произведением матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ на число $ {\alpha}$ называется матрица $ C$ таких же размеров, у которой $ {c_{ij}={\alpha}a_{ij}}$ , $ {i=1,2,\dots,m}$ , $ {j=1,2,\dots,n}$ .         

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, $ {\quad 3\left(\begin{array}{rr}2&1\\ -4&5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}6&3\\ -12&15\end{array}\right)}$ .

Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом:

$\displaystyle A-B=A+(-1)B,$
что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида $ {{\alpha}_1A_1+{\alpha}_2A_2+\ldots +{\alpha}_kA_k}$ , где $ {{\alpha}_1,{\alpha}_2,\ldots,{\alpha}_k}$  -- числа, $ {A_1,A_2,\ldots,A_k}$  -- матрицы одинаковых размеров.

        Пример 14.1   Пусть $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&0\\ -5&1&3\end{array}\right)$ . Найдем $ {3A-2B}$ :
[an error occurred while processing this directive]
\begin{multline*} 3A-2B=3\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\righ... ... =\left(\begin{array}{rrr}-3&13&6\\ 7&10&-3\end{array}\right). \end{multline*}
        

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

  1. $ A+B=B+A$ -- свойство коммутативности;
  2. $ A+(B+C)=(A+B)+C$ -- свойство ассоциативности;
  3. $ A+0=A$ ;
  4. $ A+(-A)=0$ ;
  5. $ {\alpha}(A+B)={\alpha}A+{\alpha}B$ -- свойство дистрибутивности;
  6. $ ({\alpha}+{\beta})A={\alpha}A+{\beta}A$ ;
  7. $ {\alpha}({\beta}A)=({\alpha}{\beta})A$ ;
  8. $ 1\cdot A=A$ .
Здесь $ A,\,B,\,C$ -- матрицы, $ {\alpha},\,{\beta}$ -- числа, 0 -- нулевая матрица.

Отметим, что перечисленные здесь свойства совпадают со свойствами векторов, из теоремы 10.1.

 Пример Выполнить действия:  b)

Решение. Выполняем действия как над многочленами


а)

 

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Математический анализ Типовые расчеты по математике