Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$. Пусть $ x_0\in(a;b)$ -- фиксированная точка и $ y_0=f(x_0)\in(c;d)$ -- точка, ей соответствующая. Тогда $ x_0={\varphi}(y_0)$.

        Теорема 4.5   Пусть функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную $ f'(x_0)\ne0$. Тогда обратная функция $ {\varphi}(y)$ имеет в соответствующей точке $ y_0$ производную $ {\varphi}'(y_0)$, которую можно отыскать по формуле
$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}.$(4.14)
 

        Доказательство.     Дадим аргументу $ x_0$ приращение $ {\Delta}x\ne0$, такое что $ {x_0+{\Delta}x\in(a;b)}$, и рассмотрим соответствующее приращение $ {\Delta}y$, определяемое равенством $ y_0+{\Delta}y=f(x_0+{\Delta}x)$. Тогда, очевидно, $ {y_0+{\Delta}y\in(c;d)}$; при этом $ {\varphi}(y_0+{\Delta}y)=x_0+{\Delta}x$, а из монотонности функции $ f$ следует, что $ {\Delta}y\ne0$. Поскольку как функция $ f$, так и функция $ {\varphi}$ непрерывны, то условия $ {\Delta}x\to0$ и $ {\Delta}y\to0$ эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции $ x={\varphi}(y)$ и запишем для него очевидное равенство:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=\dfrac{1}{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}.$
[an error occurred while processing this directive]

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при $ {\Delta}y\to0$ и учтём, что при этом $ {\Delta}x$ тоже стремится к 0:

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\lim_{{\Delta}y\to0}\dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=... ...1}{\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

что мы и хотели доказать.     

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(f(x))},$(4.15)
 


если $ {\varphi}(y)$ -- функция, обратная к $ f(x)$.

        Замечание 4.10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная $ f'(x_0)=0$, то разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}$ стремится к $ \infty$ при $ {\Delta}y\to0$, что соответствует вертикальной касательной к графику $ x={\varphi}(y)$ при $ y=y_0$ (если считать, что ось $ 0y$ расположена горизонтально, а ось $ Oy$ -- вертикально).     

Рис.4.7.Графики функций $ y=f(x)$ и $ x={\varphi}(y)$ и касательные к ним при $ f'(x_0)=0$

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции $ y=f(x)$, так и обратной функции $ x={\varphi}(y)$ изображается на координатной плоскости $ xOy$ одной и той же линией, состоящей из точек $ (x;y)$, где $ y=f(x)$ или, что то же самое, $ x={\varphi}(y)$. Поэтому, если в точке $ (x_0;y_0)$ график функции $ y=f(x)$ имеет касательную, образующую угол $ {\alpha}$ с осью $ Ox$, то угол той же касательной с осью $ Oy$ будет, очевидно, равен $ \dfrac{\pi}{2}-{\alpha}$. Тогда

$\displaystyle {\varphi}(y_0)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\dfrac{\pi}{2}-{\alpha})... ...imits {\alpha}=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

поскольку для обратной функции $ {\varphi}(y)$ производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси $ Oy$, на которой меняется аргумент функции $ {\varphi}$.

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны $ f'(x_0)$ и $ {\varphi}'(y_0)$, дополняют друг друга до $ 90^{\circ}$

 Пример Решить квадратные уравнения:  b) 

c)

Решение. a)

 b)

  c)  

Отсюда

Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

 Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Математический анализ Типовые расчеты по математике