Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


     Пример 4.14   Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:
$\displaystyle y'=(\mathop{\rm ch}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})'= \frac{1}{2}(e^x+(-e^{-x}))= \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))=\mathop{\rm sh}\nolimits x.$
    
        Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$ (проверьте!). Далее, имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm th}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm sh}\nolimits x)... ...ts ^2x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2x.$
    
        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x... ... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$
    
        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x,\mathop{\rm ch}\nolimits x,\mathop{\rm th}\nolimits x,\mathop{\rm cth}\nolimits x$, исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).
Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     
        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.
Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда
$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'= e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}... ...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}= {\alpha}x^{{\alpha}-1}.$
    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

        Пример 4.18   Найдём производную функции
$\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$
При $ x=0$ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}f(x)= \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},$
а
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0-}f(x)= \lim\limits_{x\to0-}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}.$

Рис.4.9.График функции $ f(x)$

Теперь вычислим производную при $ x\ne0$: применяя формулу производной сложной функции, получаем
$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{1+\df... ...frac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= -\dfrac{1}{1+x^2}.$

Рис.4.10.График производной $ f'(x)$

Заметим, что если бы не разрыв при $ x=0$, эта производная совпала бы с производной функции $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $. Это неспроста: дело в том, что если мы положим
$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac... ...mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x>0, \end{array}\right. $
то $ g(x)$ будет совпадать с $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ при всех $ x\ne0$. В то же время $ g(x)$ отличается на постоянное слагаемое от $ f(x)$ при $ x<0$, и поэтому производные у $ f(x)$ и у $ g(x)$ одинаковые.     
        Упражнение 4.3   Найдите производную функции
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $
Отдельно вычислите производную при $ {x\ne0}$ (как производную произведения) и производные слева и справа при $ {x=0}$ (пользуясь определением производной, как
$\displaystyle \lim\limits_{h\to0\pm}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}= \lim\limits_{h\to0\pm}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{h}.)$

Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:

1)  2)   3)  4)  

5) .

Решение. Сначала построим все эти точки на комплексной плоскости (рис.2.2). у 

 

Теперь представим их в тригонометрической и показательной формах:

  Имеем: 

 

  

 Так как 2- ой четверти, то

 Тригонометрическая форма

  Показательная форма 

 

 

 

 

 

 

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции  при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство:

(3)  .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при  (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

 Общий признак сравнения.  Пусть на полупрямой  имеются две неотрицательные функции  и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда  и из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла   и известных (в смысле сходимости) интегралов  и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

Математический анализ Типовые расчеты по математике