Примеры решения задач по математике

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела Метод Ньютона Нахождени е дифференциала Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики

Определение 14.4 Произведением матрицы размеров $m\times n$ на матрицу размеров $n\times k$ называется матрица размеров $m\times k$ , элементы которой вычисляются по формуле

$\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}=\sum_{s=1}^n a_{is} b_{sj},$

(14.5)

где $i=1,\dots,m$ , $j=1,\dots,k$ .
Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой-- второй.
Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено.
В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя.
Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом.
Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в -ой строке и -ом столбце, нужно взять -ую строку первого сомножителя и -ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить. (Точно так же мы поступаем, когда находим скалярное произведение двух векторов по их координатам, см. формулу(14.2).)
Представить в показательной форме числа: 2)
3)
Решение.

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку
Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции при . Для существования предельного значения функции при необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого можно указать такое А>0, что для любых и , удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство:
(3) .
В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).
Общий признак сравнения. Пусть на полупрямой имеются две неотрицательные функции и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда и из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла и известных (в смысле сходимости) интегралов и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

Математический анализ Типовые расчеты по математике