Правила дифференцирования

Правила дифференцирования
1		Эти два свойства выражают
2		линейность операции дифференцирования
3
4
5	$\bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$
6	$(f(u(x))'_x=f'_u(u(x))\cdot u'(x)$
7		(и в том случае, когда )
8	Если функция ${\varphi}(y)$ -- обратная к ,	то ${\varphi}'_y(y)=\dfrac{1}{f'({\varphi}(y))}$
9	Если $x={\varphi}(t),\;y=\psi(t)$ ,	то $y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ (см. ниже)

Производные элементарных функций [an error occurred while processing this directive]
1
2	$(u^n)'_x=nu^{n-1}\cdot u'_x,\; n\in\mathbb{R}$
3	$(a^u)'_x=a^u\ln a\cdot u'_x,\; a>0,a\ne1$ ,	в частности,
4	$(\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},\; a>0,a\ne1$ ,	в частности, $(\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}$
5	$(\sin u)'_x=\cos u\cdot u_x$
6	$(\cos u)'_x=-\sin u\cdot u_x$
7	$(\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2x}=(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2u)u'_x$
8	$(\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2x}=-(1+\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2u)u'_x$
9	$(\arcsin u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$
10	$(\arccos u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$
11	$(\mathop{\rm arctg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1+u^2}$
12	$(\mathop{\rm arcctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{1+u^2}$
13	$(\mathop{\rm sh}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm ch}\nolimits u\cdot u'_x$
14	$(\mathop{\rm ch}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm sh}\nolimits u\cdot u'_x$
15	$(\mathop{\rm th}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2u)u'_x$
16	$(\mathop{\rm cth}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2u)u'_x$
17	$(\mathop{\rm arsh}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2+1}}$
18	$(\mathop{\rm arch}\nolimits u)'_x=\pm\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2-1}}$
19	$(\mathop{\rm arth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$
20	$(\mathop{\rm arcth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$

Вычислить

Решение:

Построив линии ограничивающие D, видим, что D – треугольник (рис.4).

Рис. 4

Область D записывается в виде и в виде .В первом случае имеем:

Во втором случае:

В первом случае для вычисления внутреннего интеграла придется два раза интегрировать по частям, а во втором – интегрирование существенно упрощается. Поэтому интеграл лучше брать по второй формуле, что и будем делать. Вычисляем внутренний интеграл по х, считая у постоянной, а затем вычисляем получившийся определенный интеграл.

Ответ: J=4.

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции при . Для существования предельного значения функции при необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого можно указать такое А>0, что для любых и , удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство:

(3) .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

Общий признак сравнения. Пусть на полупрямой имеются две неотрицательные функции и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда и из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла и известных (в смысле сходимости) интегралов и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

Математический анализ Типовые расчеты по математике

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч