Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

[an error occurred while processing this directive]

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

    

Вычислить:  

Решение:

Напомним, что если тело V снизу ограничено поверхностью , сверху – поверхностью  и проекция V на плоскость ху есть область D , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по V вычисляется по формуле

Построив  поверхности ограничивающие V, видим, что V есть треугольная призма ( рис.5а.).

Рис.5.

 

 

 

 

 

 


Призма V ограничена: снизу поверхностью z=0, сверху поверхностью , и проекция V на плоскость ху совпадает с основанием D этой призмы (рис. 5б.). Поэтому

Внутренний интеграл по z вычисляем, считая х и у постоянными:

 

Полученный двойной интеграл удобнее вычислять, интегрируя сначала по у , а затем по х , поскольку при этом не встретится интегрирование по частям.

Ответ:J=1.

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции  при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство:

(3)  .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при  (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

 Общий признак сравнения.  Пусть на полупрямой  имеются две неотрицательные функции  и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда  и из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла   и известных (в смысле сходимости) интегралов  и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

Математический анализ Типовые расчеты по математике