Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка $ n$ , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . Такое рекуррентное определение и было использовано для введения определителя матрицы третьего порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы $ A$ будем обозначать $ \vert A\vert$ или $ \det A$ .

        Определение 14.6   Определителем квадратной матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right)}$ второго порядка называется число $ {\vert A\vert=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ . Определителем квадратной матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdo... ...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right)}$ порядка $ n$ , $ n\geqslant 3$ , называется число
$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k,$
где $ M_k$  -- определитель матрицы порядка $ {n-1}$ , полученной из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и столбца с номером $ k$ .         

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

\begin{multline*} \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13... ...31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{array}\right\vert. \end{multline*}
        Замечание 14.7   Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.         
        Замечание 14.8   В определении 14.6 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка $ n$ и принимающая значения в множестве чисел.         
        Замечание 14.9   В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение $ \det A$ .         

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.

Решение.

Для нахождения точек пересечения параболы у=11 – х2 с прямой у= - 10х.

решим систему

Получим точку А (-1; 10) и точку В (11; -110). Построим линии ограничивающие заданную фигуру (рис.8).

 

Рис.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что площадь SD области D находится по формуле

Таким образом,

Ответ:  SD =288

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции  при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство:

(3)  .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при  (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

 Общий признак сравнения.  Пусть на полупрямой  имеются две неотрицательные функции  и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда  и из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла   и известных (в смысле сходимости) интегралов  и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

Математический анализ Типовые расчеты по математике