Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Алгоритм создания нулей в столбце.
Пусть требуется вычислить определитель матрицы $ A$ порядка $ n$ . Если $ {a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель $ A$ , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица $ A$ имеет нулевой столбец и по  предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице $ {a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен
$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой второй строки обозначим $ a_{2k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен
$\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой третьей строки обозначим $ a_{3k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{n1}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $ A^{(1)}$ , которая имеет вид
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right),$
причем $ \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert$ . Для вычисления определителя матрицы $ A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу
$\displaystyle \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert=a_{11}A_{11}^{(1)}+0\cdot A_{21}^{(1)}+\ldots+0\cdot A_{n1}^ {(1)}.$
Так как $ (-1)^{1+1}=1$ , то
$\displaystyle \vert A\vert=a_{11}\left\vert\begin{array}{cccc}a_{22}^{(1)}&a_{2... ...s&\dots\\ a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right\vert.$
В правой части стоит определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы $ A$ сведется к вычислению определителя матрицы порядка $ {n-2}$ . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.     
Если матрица $ A$ не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
        Пример 14.6   Вычислите определитель матрицы
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\ -6&7&1&-1\end{array}\right)$
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\dfrac32$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3... ...ay}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. В результате получаем
$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0& \phantom... ...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\ -3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b... ...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b... ...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$
В результате получаем
\begin{multline*} \vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\... ...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497. \end{multline*}
Ответ. $ \vert A\vert=497$ .         
        Замечание 14.11   Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.         

Пластинка D заданна ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение:

Построим линии ограничивающие область (рис.12).

Рис.12.

 

 

 

 


Область D - заштрихованная часть полученной фигуры, так как именно в этой части выполняется условие y ³ 0. Теперь обычным способом вычисляем массу пластинки, равную двойному интегралу от поверхностной плотности:

Ответ: MD=2

Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

Математический анализ Типовые расчеты по математике