Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 Пример 14.7   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\... ...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $ \vert A\vert\ne0$ , то матрица $ A$  -- невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

 

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\... ..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

 

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}... ...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

 

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}... ...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

 

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}... ...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

 

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.         

        Замечание 14.13   В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

$\displaystyle A^{-1}= \left(\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac11}-\frac28&\frac... ...8&-\frac14\\ \phantom{\dfrac11}\frac{13}8&-\frac18&\frac54\end{array}\right).$(14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы $ A$  -- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $ \frac1{\vert A\vert}$ впереди.         

        Замечание 14.14   При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.         

        Пример 14.8   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Решение.

 

$\displaystyle \vert A\vert=11\ne0\quad\Rightarrow\quad A^{-1}$ -- существует.

 

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5=5,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-2)=2,$

 

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3,\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Ответ: $ A^{-1}=\dfrac1{11}\left(\begin{array}{rr}5&-3\\ 2&1\end{array}\right)$ .         

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.     

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;

Решение: Преобразуем уравнения х2+у2=5у; х2+у2=8у; соответственно к виду . Первое уравнение –это уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служат окружность  с центром в точке (0, 5/2) и радиусом, равным 5/2, второе – уравнение прямого кругового цилиндра, его направляющая – окружность х2+(у-4)2=160 с центром в точке (0, 4)и радиусом, равным 4. Уравнение  полуконуса с вершиной в точке (0,0,0),

для которого ось oz является осью симметрии. Поверхность z=0 есть уравнение плоскости ху. Построив поверхности, получим тело W, ограниченное этими поверхностями (рис.15.а).

Рис.15.


тело W сверху ограничено поверхностью полуконуса , снизу – поверхностью z=0 , и проекция тела W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела (рис.15.б). Поэтому

Этот интеграл удобно вычислять в полярной системе координат. Уравнения х2+у2=5у

и х2+у2=8у в этой системе координат соответственно имеют вид r = 5sinj , r = 8sinj . Область D записывается в виде:D:{ 0£ j £ p; 5sinj £ r £ 8sinj} .Таким образом,

Ответ: VW=172

Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

Математический анализ Типовые расчеты по математике