Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В этом разделе рассмотрим еще одну важную числовую характиристику матрицы, связанную с тем, насколько ее строки (столбцы) зависят друг от друга.

        Определение 14.10   Пусть дана матрица $ A$ размеров $ m\times n$ и число $ k$ , не превосходящее наименьшего из чисел $ m$ и $ n$ : $ {k\leqslant \min(m,n)}$ . Выберем произвольно $ k$ строк матрицы $ A$ и $ k$ столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных $ k$ строк и $ k$ столбцов, называется минором порядка $ k$ матрицы $ A$ .         
        Пример 14.9   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&2&-1&0\\ 3&4&-5&6\\ 5&-2&-3&-4\end{array}\right)}$ .
Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, $ -5$ , $ -4$  -- миноры первого порядка.
Миноры второго порядка:
  1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ 3&4 \end{array}\right\vert=-2}$ ;
  2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор $ {\vphantom{\begin{array}{r}1\\ 2\\ 3\end{array}}\left\vert\begin{array}{rr}2&0\\ -2&-4\end{array}\right\vert=-8}$ ;
  3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rr}3&6\\ 5&-4 \end{array}\right\vert=-42}.$
Миноры третьего порядка:
строки здесь можно выбрать только одним способом,
  1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор $ {\vphantom{\begin{array}{r}1\\ 2\\ 3\\ 1\end{array}}\left\vert\begin{array}{rrr}1&-1&0\\ 3&-5&6\\ 5&-3&-4\end{array}\right\vert=-4}$ ;
  2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&-5\\ 5&-2&-3\end{array}\right\vert=-28}$ .
        
        Предложение 14.23   Если все миноры матрицы $ A$ порядка $ k$ равны нулю, то все миноры порядка $ {k+1}$ , если такие существуют, тоже равны нулю.

        Доказательство.     Возьмем произвольный минор порядка $ {k+1}$ . Это определитель матрицы порядка $ {k+1}$ . Разложим его по первой строке. Тогда в каждом слагаемом разложения один из множителей будет являться минором порядка $ k$ исходной матрицы. По условию миноры порядка $ k$ равны нулю. Поэтому и минор порядка $ {k+1}$ будет равен нулю.     

        Определение 14.11   Рангом матрицы $ A$ называется наибольший из порядков миноров матрицы $ A$ , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.         

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его $ {\rm Rg}A$ .

найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.

Решение:

Первая поверхность – параболоид вращения, полученный вращением параболы z=10x2+1, лежащей на плоскости xz. Вторая поверхность z=1-20y,

 является плоскостью, параллельной оси ох. Тело W, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис. 19.а).

Рис.19.

 

 

 

 

 

 

Тело W снизу ограничено поверхностью z=10(x2+y2)+1,  сверху – поверхностью z=1-20y. Найдем область D в плоскости ху , на которую проектируется тело W. Для этого решим систему

 

 ìz=1-20y;

  í

 îz=10(x2+y2)+1

Получим 10(х2+у2)=-20Þх2+(у+1)2=1, т.е. D есть круг радиусом 1 с центром в точке (0, 1). В полярных координатах уравнение окружности х2+(у+1)2=1имеет вид r =-2 sinj , и вэтих координатах D записывается в виде D:{-p£ j £ 0; 0£ r £-2sinj}. Таким образом,

Ответ: VW=5p

Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

Математический анализ Типовые расчеты по математике