Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пусть требуется вычислить ранг матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ . Если матрица $ A$ нулевая, то по определению $ {{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что $ {a_{11}\ne0}$ .

Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ . В результате третья строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{32}^{(1)}&\dots&a_{3n}^{(1)}\end{array}\right).$

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

Преобразованная матрица имеет вид

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{m2}^{(1)}&a_{m3}^{(1)}&\dots&a_{mn}^{(1)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля $ a_{11}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что $ {a_{22}^{(1)}\ne0}$ .

Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{32}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ . В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{42}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ , и т.д. В результате получаем матрицу

$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ts&\dots&\dots&\dots\\ 0&0&a_{m3}^{(2)}&\dots&a_{mn}^{(2)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то $ {{\rm Rg}A^{(2)}=2}$ , так как минор $ {\left\vert\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ 0&a_{22}^{(1)}\end{array}\right\vert=a_{11}a_{22}^{(1)}\ne0}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с $ {(r+1)}$-ой , равны нулю (или отсутствуют при $ {r=m\leqslant n}$ ), а минор в первых $ r$ строках и первых $ r$ столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен $ r$ . Следовательно, $ {{\rm Rg}A=r}$ .     

        Замечание 14.15   В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.         
        Замечание 14.16   Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.         
        Пример 14.12   Найдите ранг матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 3&1&4&-1\\ 5&9&-13.5&1\\ 3&5&-7&1\end{array}\right)$ .
Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 6&2&8&-2\\ 10&18&-27&2\\ 6&10&-14&2\end{array}\right).$
Первую строку умножим на $ (-3)$ и прибавим ко второй. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&-4&11&-2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на $ (-5)$ и прибавим к третьей. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&8&-22&2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на $ (-3)$ и прибавим к четвертой. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&4&-11&2\end{array}\right)}$ . В итоге имеем матрицу
$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&8&-22&2\\ 0&4&-11&2\end{array}\right).$
Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&-2\end{array}\right)}$ . К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид
$\displaystyle A^{(3)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Поменяем местами третий и четвертый столбцы:
$\displaystyle A^{(4)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&0&-1\\ 0&-4&-2&11\\ 0&0&-2&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Базисный минор матрицы $ A^{(4)}$ стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, $ {{\rm Rg}A^{(4)}=3}$ . Следовательно, $ {{\rm Rg}A=3}$ .         
        Замечание 14.17   В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.         

диное, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его $ {\rm Rg}A$ .

Отметим, что формулы 1- 6 можно применять и в тех случаях, когда данную функцию требуется представить в виде многочлена Тейлора по степеням  Для этого функцию f(x) надо преобразовать так, чтобы она имела вид , причем  при . Покажем это на примере.

 

  Пример 1.18. Представить в виде многочлена Тейлора функции:

а)  по степеням х-1,

 

 

 

 

б)   по степеням х+1.

Решение. а) Функцию  по степеням х-1. Так как  то использовать формулу 1 пока нельзя. Надо функцию преобразовать так, чтобы она зависела от . Имеем: . Теперь можно использовать формулу 1. Надо вместо x подставить 3(x-1).

.

б)  по степеням х+1. Здесь нам придется применить формулы, получающиеся из формулы 4 при

 m = -1.

  ()

  ()

Сначала данную функцию представим в виде суммы двух простых дробей:

  (*)

Каждую дробь преобразуем так, чтобы она зависела от (x+1) и первое слагаемое в знаменателе дроби равнялось 1.

Для первой дроби имеем:

В формуле () вместо х следует подставить .

 Получим:

 

Для второй дроби имеем:

Здесь в формуле () вместо х подставляем х+1.

Подставив все это в (*), получим:

 

Следует отметить, что формулы Тейлора удобно использовать для приближенных вычислений значений элементарных функций. В формулах 2- 6 знаки слагаемых членов чередуются и степень точности вычисления определяется величиной очередного члена формулы Тейлора. Так, если степень точности равна 0,001, то в формуле Тейлора следует взять столько членов, чтобы последний член был не больше 0,001.

Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

Математический анализ Типовые расчеты по математике