Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 1.1 Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров $ {A=\{1;2;\dots;20\}}$ и множество $ B$-- множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие $ f$, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента,-- это функция $ f:n\mapsto Ф$, где $ n$-- номер студента в группе (от 1 до 20) и $ Ф$-- фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение $ f(n)$ определено для всех $ n\in A$. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества $ B$-- множества всевозможных фамилий-- присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов$ \in B$ не будет значением $ f(n)$ ни при каком $ n\in A$. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах $ n_1\in A$ и $ n_2\in A$ элемент Петров$ \in B$ будет значением функции $ f$, то есть $ f(n_1)=Петров$ и $ f(n_2)=Петров$.

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}$

не обязано совпадать со всем множеством $ B$, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие $ x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)$, что $ x_1\ne x_2$, но $ f(x_1)=f(x_2)$. В таком случае часто говорят, что элементы $ x_1$ и $ x_2$ склеиваются при отображении $ f$.

Определение 1.2 Если $ \mathcal{E}(f)=B$, то есть для любого элемента $ y\in B$ найдётся элемент $ x\in A$ такой, что $ f(x)=y$, то функция $ f$ называется отображением $ A$ на $ B$ (напомним, что в общем случае $ f$-- это отображение из $ A$ в $ B$). Отображение "на" также называют сюръективным отображением или сюръекцией.
Если для любых двух разных элементов $ x_1,x_2\in A$ ( $ x_1\ne x_2$) значения $ f(x_1),f(x_2)\in B$ тоже разные ( $ f(x_1)\ne f(x_2)$), то отображение $ f$ называется вложением множества $ A$ в множество $ B$, или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1.2 Пусть $ A=\mathbb{R}, B=[-1;1]$ и отображение $ f$ для $ x\in A$ задано формулой $ f(x)=\sin x$. Тогда $ f$-- сюръекция, так как любое число $ y$ из отрезка $ [-1;1]$ равно значению $ \sin x$ при некотором $ x$.

Рис.1.2.Все числа $ y\in[-1;1]$-- это значения функции $ \sin x$
В полученные нами формулы оценки ошибки квадратурной формулы входят величины $ M_k$ , ограничивающие абсолютную величину производной порядка $ k$ от подынтегральной функции ($ k=2$ для формул центральных прямоугольников и трапеций, $ k=4$ для формулы Симпсона, $ k=6$ и $ k=8$ для формулы Уэддля). Если величина $ M_k$ неизвестна (а как правило, в достаточно сложных задачах не вычисление интегралов она неизвестна или получить её весьма нелегко), то пользоваться этими оценками для определения величины ошибки конкретного вычисления невозможно. Так что всё, что дают нам формулы оценки ошибки -- это порядок квадратурных формул. Однако на этом основании можно получить следующее практическое правило, которое позволяет получить оценку ошибки конкретного вычисления, если квадратурную формулу применить два раза с разными шагами $ h$ .

А именно, если используемая квадратурная формула имеет порядок точности $ k$ ($ {k=2}$  -- порядок формул центральных прямоугольников и трапеций, $ k=4$  -- формулы Симпсона, $ k=6$  -- формулы Уэддля), то соответствующая шагу $ h$ погрешность $ {\varepsilon}_h$ имеет оценку $ Ch^k$ , где $ C$  -- некоторая постоянная, не зависящая от $ h$ . Таким образом, при малых $ h$ , то есть при достаточно большом числе отрезков разбиения $ n$ , будет

$\displaystyle {\varepsilon}_h\approx Ch^k$ и $\displaystyle {\varepsilon}_{\frac{h}{2}}\approx C\frac{h^k}{2^k}\approx\frac{1}{2^k}{\varepsilon}_h.$

Следовательно, если $ I_h=I-{\varepsilon}_h$  -- приближённое значение интеграла, точное значение которого равно $ I$ , то

$\displaystyle I-I_h\approx Ch^k;\ I-I_{\frac{h}{2}}\approx\frac{1}{2^k}Ch^k\approx\frac{1}{2^k}(I-I_h).$

Отсюда получаем, что

 

$\displaystyle I_{\frac{h}{2}}-I_h\approx\frac{1}{2^k}Ch^k(2^k-1)$

и

$\displaystyle I-I_{\frac{h}{2}}\approx\frac{I_{\frac{h}{2}}-I_h}{2^k-1}.$(5.5)

Таким образом, проведя вычисления по данной квадратурной формуле с некоторым шагом $ h=\frac{b-a}{n}$ , а затем удвоив число отрезков деления и проведя вычисления по той же формуле с шагом $ \frac{h}{2}$ , мы получим приближённые значения $ I_h$ и $ I_{\frac{h}{2}}$ и сможем, применив формулу (5.5), вычислить текущую погрешность, то есть оценку отклонения истинного значения интеграла от последнего из вычисленных приближённых значений (полученного с шагом $ \frac{h}{2}$ ).

На такой оценке текущей погрешности, как правило, основаны компьютерные программы, вычисляющие значение определённого интеграла с заданной точностью.

Частотный спектр ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

АБЕЛЬ, НИЛЬС ХЕНРИК (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик. Родился 5 августа 1802 близ Ставангера, в семье пастора. В 1821 по окончании приходской школы поступил в университет Кристиании (Осло). Типовой расчет По окончании университета получил степень кандидата философии. Закон Ампеpа. Работа над контуpом с током. Постоянное магнитное поле в вакууме и веществе лекции и конспекты по физике Зимой 1822–1823 выполнил большую научную работу, посвященную интегрируемости дифференциальных уравнений, и в качестве премии ему была назначена государственная стипендия. В 1825–1927, по окончании университета, Абель совершил путешествие по Европе, познакомился со многими известными математиками (А.Лежандром, О.Коши и др.). Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции