Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 1.6 Функция $ f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)$, заданная формулой $ y=f(x)=x^2$,-- это биекция. Обратная к ней функция-- это квадратный корень: $ x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Рис.1.6.Функции $ y=x^2$ и $ x=\sqrt{y}$-- взаимно обратны


В математическом анализе основную роль играют такие функции $ f$, у которых значениями служат вещественные числа, то есть $ \mathcal{E}(f)\sbs\mathbb{R}$. Такие функции $ f$ называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6-- числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 1.7 Пусть $ A$-- множество всевозможных отрезков $ CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $ C$ и $ D$) не совпадают. Пусть соответствие $ f$ сопоставляет каждому такому отрезку $ CD$ его длину $ f(CD)=\vert CD\vert$. Так как длина отрезка-- число, то $ f$-- числовая функция, $ f:A\to\mathbb{R}$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $ \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}$.

Замечание 1.2 В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями $ f$, область определения которых $ \mathcal{D}(f)$ также является подмножеством числовой прямой $ \mathbb{R}$, то есть такими функциями $ f:A\to B$, где $ A\sbs\mathbb{R}$ и $ B\sbs\mathbb{R}$. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых-- подмножество в пространстве $ \mathbb{R}^n$, равном прямому произведению $ n$ экземпляров множества $ \mathbb{R}$ (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

Определение 1.5 Графиком функции $ f:A\to B$ называется множество пар $ (x;y)$ элементов $ x\in A$ и $ y\in B$, такое, что в каждой паре $ (x;y)$ второй элемент $ y$-- это значение функции $ f(x)$, соответствующее первому элементу пары, то есть $ x$.
Рассмотрим множество всевозможных пар $ (x;y)$, где $ x\in A$, $ y\in B$. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества $ A$ на множество $ B$ и обозначается $ A\times B$.

Ясно, что график $ {\Gamma}_f$ функции $ f$-- это подмножество прямого произведения $ A\times B$:

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\sbs A\times B.$

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2-- подмножество в $ \mathbb{R}\times[-1;1]$; график примера 1.3-- подмножество в $ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$; оба графика примера 1.6-- подмножества в $ \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2$ (здесь мы ввели обозначение $ \mathbb{R}_+=[0;+\infty)$, которого будем придерживаться и далее).


Определение. Матрицей  размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =

Основные действия над матрицами.

 Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

[an error occurred while processing this directive]

 Определение.  Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица Определение. Квадратная матрица вида  называется диагональной матрицей.  Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij С = А + В = В + А.  Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. a (А+В) =aА ± aВ А(a±b) = aА ± bА Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. 2А = , 2А + В = .

Частотный спектр ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

АБЕЛЬ, НИЛЬС ХЕНРИК (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик. Родился 5 августа 1802 близ Ставангера, в семье пастора. В 1821 по окончании приходской школы поступил в университет Кристиании (Осло). Типовой расчет По окончании университета получил степень кандидата философии. Закон Ампеpа. Работа над контуpом с током. Постоянное магнитное поле в вакууме и веществе лекции и конспекты по физике Зимой 1822–1823 выполнил большую научную работу, посвященную интегрируемости дифференциальных уравнений, и в качестве премии ему была назначена государственная стипендия. В 1825–1927, по окончании университета, Абель совершил путешествие по Европе, познакомился со многими известными математиками (А.Лежандром, О.Коши и др.). Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции