Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пример 1.8 Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
Графиком $ {\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $ A\times\mathbb{R}$. Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $ \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$. Обозначим координаты точек в $ \mathbb{R}^3$ через $ x_1,x_2,y$. Тогда графику $ {\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $ y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $ x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Множество $ Г_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $ (0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.


Рис.1.7.График расстояния до точки $ O$-- это конус


Как мы видим, в случае, когда $ A$-- подмножество плоскости $ \mathbb{R}^2$, график числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$-- это подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$. Если же $ A$-- подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$, то графиком числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество $ {\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $ A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график $ {\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

Пример 1.9 Пусть $ A=\mathbb{R}^3$ и для каждой точки $ x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3$ значение функции $ f$ в этой точке-- это квадрат расстояния от $ x$ до точки $ O(0;0;0)$, то есть $ f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2$. Тогда график $ {\Gamma}_f$-- это подмножество в $ \mathbb{R}^4$:
$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.$
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула $ y=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью $ \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}$-- это парабола $ y=x_1^2$ в плоскости $ x_1Oy$, а сечение трёхмерным пространством $ \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}$-- это одна точка $ (0;0;0;0)$.

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного в примерах 1.1, 1.4 до задания функции формулой вида $ {y=f(x)}$ в примерах 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9. Способ задания функции $ f:A\to B$ зависит от того, какова природа множеств $ A$ и $ B$ и как по заданному $ x\in A$ определяется $ {y=f(x)\in B}$. Выделим основные из этих способов.

Свойства несобственных интегралов первого рода

Напомним, что мы выяснили выше, что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , а свойства интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ их будут повторять с очевидными исправлениями.

        Теорема 4.1   Пусть фиксировано число $ a\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b]$ , где $ b\geqslant a$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , то сходится и интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ .

        Доказательство.     Докажем, что из сходимости $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ следует сходимость $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ при $ a_1\geqslant a$ . Из аддитивности интеграла следует, что при любом $ b\geqslant a$ имеет место равенство

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx= \int\limits_a^bf(x)\;dx- \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx.$(4.2)

Переходя в этом равенстве к пределу при $ b\to+\infty$ , получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx= \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx- \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx,$(4.3)

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл $ \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ вовсе не зависит от $ b$ , то есть при вычислении предела при $ b\to+\infty$ служит постоянным слагаемым. Значит, предел, задающий интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , существует (и равен $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx- \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ ), что доказывает сходимость интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ .

Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , мы доказали формулу (4.3).

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике