Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ конечно и состоит из $ N$ элементов $ x_1,x_2,\dots,x_N$, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе $ x\in A$. Часто это делают в виде таблицы:

 

$ x$$ x_1$$ x_2$$ \dots$$ x_N$
$ y$$ y_1$$ y_2$$ \dots$$ y_N$

В верхней строке таблицы перечисляются все $ N$ элементов конечного множества $ A$, а в нижней -- соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

 

 

        Пример 1.10   В отделе кадров составляют таблицу, в которой в первом столбце содержатся фамилии и инициалы работников, а во втором -- серии и номера их паспортов. Такая таблица задаёт функцию $ f$ -- соответствие между множеством $ A$ работников предприятия и множеством $ B$ кодов (код -- это серия и номер) паспортов. Полученная таблица может выглядеть, например, так:
Фамилия И.О.Паспорт: серия,номер
Абрамов В.П.II-СИ356531
Бархударов Ш.Х.VII-ПЮ785305
Виноградов А.В.XII-ЧФ015628
Гусева Т.И.IV-БШ764285
...... 
[an error occurred while processing this directive]
Определённая таким способом функция $ f$ -- это инъекция, так как ни у каких двух человек не могут оказаться паспорта с одинаковым кодом (серия, номер).    

 

Другая форма таблицы удобна для функции $ f:A\to B$, заданной на прямом произведении двух множеств $ A_1$ и $ A_2$, то есть когда $ A=\mathcal{D}(f)=A_1\times A_2$, причём множества $ A_1$ и $ A_2$ конечные: $ A_1=\{x_1^{(1)},x_1^{(2)},\dots,x_1^{(m)}\}$ и $ A_2=\{x_2^{(1)},x_2^{(2)},\dots,x_2^{(n)}\}$. Перечислим все элементы множества $ A_1$ по вертикали, а $ A_2$ -- по горизонтали. В пересечениях строки и столбца, содержащих элементы $ x_1^{(i)}\in A_1$ и $ x_2^{(j)}\in A_2$, укажем значение функции $ y_{ij}=f(x_{ij})$, где $ x_{ij}=(x_1^{(i)};x_2^{(j)})\in A_1\times A_2$:

 

$ A_1\diagdown A_2$$ x_2^{(1)}$$ x_2^{(2)}$$ \dots$$ x_2^{(n)}$
$ x_1^{(1)}$$ y_{11}$$ y_{12}$$ \dots$$ y_{1n}$
$ x_1^{(2)}$$ y_{21}$$ y_{22}$$ \dots$$ y_{2n}$
$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$
$ x_1^{(m)}$$ y_{m1}$$ y_{m2}$$ \dots$$ y_{mn}$


Как мы видим, задание такой функции эквивалентно заданию прямоугольной таблицы -- матрицы размера $ m\times n$, элементами которой являются элементы множества $ B$.

Пример 1.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\vert x\vert$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathcal{D}$ .

Действительно, при $ x>0$

$\displaystyle F'(x)=x'=1$

и

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{x}=1;$

при $ x<0$

$\displaystyle F'(x)=(-x)'=-1$

и

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{-x}=-1.$

    

Итак, $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , если $ f(x)$  -- производная от $ F(x)$ . Например, $ F(x)=x^2$  -- первообразная для $ f(x)=2x$ , поскольку $ (x^2)'=2x$ ; $ F(x)=\sin x$  -- первообразная для $ f(x)=\cos x$ , поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , и т. п. Тем самым, нахождение первообразной определяется как операция, обратная к операции вычисления производной. Найти первообразную по данной функции $ f(x)$ означает восстановить функцию $ F(x)$ по её производной.

Заметим теперь, что однозначно восстановить функцию $ F(x)$ по её производной невозможно даже в таком простом случае, когда $ F(x)=\mathrm{const}$ . Действительно, вычисление производной любой постоянной даёт $ F'(x)=0$ , так что различить, какое значение имела постоянная $ F(x)$ , по $ F'(x)$ невозможно. Следовательно, для $ f(x)=0$ любая постоянная служит первообразной: $ F(x)=C$ , где $ C\in\mathbb{R}$  -- произвольное число.

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике