Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда $ {m=n}$ , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при $ {n=2}$ или $ {n=3}$ рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица $ A$ исходной системы -- квадратная, порядка $ n$ , $ x$ и $ b$  -- столбцы высоты $ n$ . Предположим, что $ \vert A\vert\ne0$ . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства  (15.2) на $ A^{-1}$ , получим

$\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad Ex=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad x=A^{-1}b.$

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle x=A^{-1}b.$(15.3)
 


Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть $ {{\Delta}=\vert A\vert}$ , $ {\Delta}_i$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ заменой столбца с номером $ i$ на столбец $ b$ свободных членов, $ {i=1,2,\dots,n}$ :

\begin{multline*} {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{cccc}b_{1}&a_{12}&\dots&a_... ...dotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{n}\end{array}\right\vert. \end{multline*}
        Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе $ n$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными $ {\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами
$\displaystyle x_1=\frac{{\Delta}_1}{{\Delta}},\quad x_2=\frac{{\Delta}_2}{{\Delta}},\quad \dots,\quad x_n=\frac{{\Delta}_n}{{\Delta}}.$

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\do... ...\dots&A_{n2}\\ \hdotsfor{4}\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

где $ A_{ij}$ -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

$\displaystyle x= \frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&... ..._n\\ \hdotsfor{1}\\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\ldots+A_{nn}b_n\end{array}\right).$

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя $ {\Delta}_1$ по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя $ {\Delta}_2$ по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому $ {x=\dfrac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{c}{\Delta}_1\\ {\Delta}_2\\ \vdots\\ {\Delta}_n\end{array}\right)}$ , откуда и следует утверждение теоремы.     

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

  . 

Решение. В исходном базисе  матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

 .

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их.

Характеристическое уравнение для матрицы  имеет вид

 .

Откуда следует

   и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

 .

Для случая  имеем:

  . 

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

 Как видно из данной системы, величина  принимает произвольные значения, а величины   связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

 

 Эти векторы ортогональны:  (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор  к тому же и нормирован. Откуда следует - . Нормируем теперь вектор: 

 .

 Для случая  уравнение, определяющее собственный вектор есть

   . 

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например,  Отнормируем этот вектор: .

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования: 

 . 

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

 .

При этом переменные  связаны с переменными  соотношением

  или

 

Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

Математический анализ Типовые расчеты по математике