Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

     Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы $ A$ равен рангу расширенной матрицы $ A^*$ .

        Доказательство.     Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .

Пусть набор чисел $ {({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через $ a_i$ $ i$ -ый столбец матрицы $ A$ , $ {i=1,2,\dots,n}$ . Тогда $ {{\alpha}_1a_1+ {\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . Пусть $ {r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 $ {{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в $ A^*$ базисный минор $ M$ . Он имеет порядок $ {r+1}$ . Столбец $ b$ свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы $ A$ . Столбец свободных членов в миноре $ M$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) $ {M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где $ M_i$  -- определитель, который получается из минора $ M$ заменой столбца свободных членов на столбец $ a_i$ . Если столбец $ a_i$ проходил через минор $ M$ , то в $ M_i$ , будет два одинаковых столбца и, следовательно, $ {M_i=0}$ . Если столбец $ a_i$ не проходил через минор $ M$ , то $ M_i$ будет отличаться от минора порядка $ {r+1}$ матрицы $ A$ только порядком столбцов. Так как $ {{\rm Rg}A=r}$ , то $ {M_i=0}$ . Таким образом, $ {M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots +{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.

2. Пусть $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор $ M$ матрицы $ A$ является базисным минором матрицы $ A^*$ . Пусть через минор $ M$ проходят столбцы $ {a_{i_1},\,a_{i_2}, \dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице $ A^*$ столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$(15.6)
 


Положим $ {x_{i_1}={\alpha}_1}$ , $ {x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $ \dots$ , $ {x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим

$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r x_{i_r}.$

В силу равенства (15.6) $ {x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (15.4) $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) $ {{\rm Rg}A=1}$ ,$ {{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.

        Замечание 15.3   Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить $ {\rm Rg}A$ и $ {\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.         

Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.

Четвертая группа формул связана со степенной функцией.

Имеем:

 

 

 

Итак, четвертая группа формул эквивалентности бесконечно малых

 

,  

, 

  (4)

Исследовать интегралы на сходимость, используя частный признак сравнения:

 а). ; б). .

Решения. а). Подынтегральная функция  на всем промежутке интегрирования непрерывна и меньше функции . Имеем следующее сопоставление интегралов исследуемого и опорного в виде частного и общего признаков сравнения: . Так как опорный интеграл сходится (формула (5)), то сходится и исследуемый интеграл (формула (4.2)).

б). Так как подынтегральная функция исследуемого интеграла  во всем промежутке интегрирования непрерывна и больше функции , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: . Интеграл в правой части неравенства расходится (формула (5)); стало быть, исследуемый интеграл тоже расходится (формула (4.3)).

Упражнение 6. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

В ряде случаев удобно пользоваться при сопоставлении интегралов так называемым предельным признаком сравнения, который состоит в том, что рассматривается предел отношения положительных подынтегральных функций сопоставляемых интегралов: опорного  и исследуемого  при . Если этот предел существует и конечен, то есть:

(6)  , ,

то оба интеграла ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В частности, если функции и эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемые на промежутке . 

Математический анализ Типовые расчеты по математике