Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Однородная система уравнений

        Предложение 15.2   Однородная система уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$(15.7)

всегда является совместной.

        Доказательство.    Для этой системы набор чисел $ {x_1=0}$ , $ {x_2=0}$ , $ \dots$ , $ {x_n=0}$ является решением.     

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: $ {Ax=0}$ .

        Предложение 15.3   Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

        Доказательство.     Пусть $ c$ и $ d$ служат решениями системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {Ac=0}$ и $ {Ad=0}$ . Пусть $ {g=c+d}$ . Тогда

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0=0.$

Так как $ Ag=0$ , то $ g$  -- решение.

Пусть $ {\alpha}$  -- произвольное число, $ {h={\alpha}c}$ . Тогда

$\displaystyle Ah=A({\alpha}c)={\alpha}(Ac)={\alpha}\cdot 0=0.$

Так как $ Ah=0$ , то $ h$  -- решение.     

        Следствие 15.1   Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.    

        Определение 15.5   Будем говорить, что решения $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы $ {Ax=0}$ образуют фундаментальную систему решений, если столбцы $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.         
        Определение 15.6   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$
где $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$  -- произвольные числа, будем называть общим решением системы $ {Ax=0}$ .         

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

        Теорема 15.3   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {{\rm Rg}A+k=n}$ , где $ n$  -- число неизвестных в системе.    

Доказательство читатель может найти, например, в [1].

Все эти четыре группы формул составляют таблицу эквивалентных бесконечно малых. Посмотрим на примерах, как применяются эти формулы.

 Пример

в)

Здесь применены формулы .

г)

;

Исследовать интегралы на сходимость, используя частный признак сравнения:

 а). ; б). .

Решения. а). Подынтегральная функция  на всем промежутке интегрирования непрерывна и меньше функции . Имеем следующее сопоставление интегралов исследуемого и опорного в виде частного и общего признаков сравнения: . Так как опорный интеграл сходится (формула (5)), то сходится и исследуемый интеграл (формула (4.2)).

б). Так как подынтегральная функция исследуемого интеграла  во всем промежутке интегрирования непрерывна и больше функции , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: . Интеграл в правой части неравенства расходится (формула (5)); стало быть, исследуемый интеграл тоже расходится (формула (4.3)).

Упражнение 6. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

В ряде случаев удобно пользоваться при сопоставлении интегралов так называемым предельным признаком сравнения, который состоит в том, что рассматривается предел отношения положительных подынтегральных функций сопоставляемых интегралов: опорного  и исследуемого  при . Если этот предел существует и конечен, то есть:

(6)  , ,

то оба интеграла ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В частности, если функции и эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемые на промежутке . 

Математический анализ Типовые расчеты по математике