Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором множестве $ \mathcal{D}$, и $ E\sbs\mathcal{D}$. Назовём точку $ x_0\in E$ точкой максимума функции $ f$ на множестве $ E$, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$, и точкой минимума, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$.

Точка $ x_0$, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

        Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция $ f(x)$ имеет на множестве $ E$ точку экстремум а $ {x_0\in E}$, причём множество $ E$ содержит некоторую $ {\delta}$-окрестность $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ точки $ x_0$. Тогда либо $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную, равную 0, то есть $ f'(x_0)=0$, либо производная в точке $ x_0$ не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума

[an error occurred while processing this directive]



        Замечание 5.1   Заметим, что условие $ f'(x_0)=0$ означает, что тангенс угла $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$, проведённой при $ x=x_0$, равен 0. Отсюда $ {{\alpha}=0}$, то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     

        Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная $ f'(x_0)$ существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке $ x_0$ максимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\leqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\leqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. При вычислении производной мы переходим к пределу при $ {\Delta}x\to0$ в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$
Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:
$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$
Итак, выполняются два неравенства: $ f'(x_0)\leqslant 0$ и $ f'(x_0)\geqslant 0$, что возможно лишь при $ f'(x_0)=0$.

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ минимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\geqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\geqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Переходя к пределу при $ {\Delta}x\to0+$ в разностном отношении, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$
Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. Вычисляя предел слева, получаем:
$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$
Из неравенств $ f'(x_0)\geqslant 0$ и $ f'(x_0)\leqslant 0$ получаем, что $ f'(x_0)=0$.     
      
 

Эквивалентные бесконечно малые

Все эти четыре группы формул составляют таблицу эквивалентных бесконечно малых. Посмотрим на примерах, как применяются эти формулы.

 Пример

вд);

 

е)

;

 

ж)

;

з)

.

  Следует помнить, что принцип эквивалентности не всегда можно применять. Это прежде всего касается случая, когда эквивалентность применяют к сумме. Так, если при  применять эквивалентность к выражению tgx-sinx, то получите не переменную, а 0. По этой же причине нельзя применять эквивалентность при   в выражениях , . Как быть в таком случае? Надо данные выражения путем элементарных преобразований привести к виду, где можно применить эквивалентность. Однако, может быть так, что никакие преобразование не приводят к успеху. В таких случаях пределы вычисляются по правилу Лопиталя или с применением формулы Тейлора.

Исследовать интегралы на сходимость, используя частный признак сравнения:

 а). ; б). .

Решения. а). Подынтегральная функция  на всем промежутке интегрирования непрерывна и меньше функции . Имеем следующее сопоставление интегралов исследуемого и опорного в виде частного и общего признаков сравнения: . Так как опорный интеграл сходится (формула (5)), то сходится и исследуемый интеграл (формула (4.2)).

б). Так как подынтегральная функция исследуемого интеграла  во всем промежутке интегрирования непрерывна и больше функции , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: . Интеграл в правой части неравенства расходится (формула (5)); стало быть, исследуемый интеграл тоже расходится (формула (4.3)).

Упражнение 6. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

В ряде случаев удобно пользоваться при сопоставлении интегралов так называемым предельным признаком сравнения, который состоит в том, что рассматривается предел отношения положительных подынтегральных функций сопоставляемых интегралов: опорного  и исследуемого  при . Если этот предел существует и конечен, то есть:

(6)  , ,

то оба интеграла ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В частности, если функции и эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемые на промежутке . 

Математический анализ Типовые расчеты по математике