Математика в высшей школе решение задач

Теорема 5.4 (Коши) Пусть функции ${\varphi}(t)$ и $\psi(t)$ дифференцируемы на интервале $({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $t={\alpha}$ и $t={\beta}$ , причём ${\varphi}'(t)\ne0$ при всех $t\in({\alpha};{\beta})$ . Тогда в интервале $({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка , что

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

Доказательство. Докажем сначала, что ${\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$ , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$

при некотором ${\gamma}\in({\alpha};{\beta})$ . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию

$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} ({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$

Функция $\eta(t)$ , очевидно, является дифференцируемой при всех $t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках ${\alpha}$ и ${\beta}$ , поскольку этими свойствами обладают функции ${\varphi}$ и $\psi$ . Кроме того, очевидно, что при $t={\alpha}$ получается $\eta({\alpha})=0$ . Покажем, что и $\eta({\beta})=0$ :

$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\... ...hi}({\alpha}))= \psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$

Значит, функция $\eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $[{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $t_0\in({\alpha};{\beta})$ , что $\eta'(t_0)=0$ .

Вычислим теперь производную функции $\eta(t)$ :

$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t).$

Получаем, что

$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t_0),$

откуда получаем утверждение теоремы:

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

Замечание 5.4 Можно считать функции $x={\varphi}(t)$ и $y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости

точки, которая описывает линию

, соединяющую начальную точку $({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$ . (Тогда уравнения $x={\varphi}(t)$ и $y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость

, графиком которой служит линия

Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение $\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$ , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$ . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ . Значит, дробь $\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии

в некоторой точке $({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$ . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии

найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия

была задана явной зависимостью

, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч