Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

  Теорема 5.7 (Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших)   Пусть $ f(x)\to\infty$ и $ g(x)\to\infty$ при $ x\to x_0$ и в некоторой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$, существуют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$. Тогда, если существует предел отношения этих производных
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L,$
то существует и предел отношения самих функций, равный тому же числу:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     За полным доказательством этого утверждения мы отсылаем к книгам [Никольский С. М., Курс математического анализа. Том 1. -- М.: Наука, 1990. -- С. 200 - 201] или [Смирнов В. И., Курс высшей математики. Том 1. -- М.: Наука, 1974. -- С. 157 - 158]. Здесь же мы докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=M,$

где $ M$ -- некоторое число. Докажем, что тогда $ M=L$.

Рассмотрим вспомогательные функции $ {f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{f(x)},&\mbox{ при }x\in E;\\ 0,&\mbox{ при }x=x_0, \end{array}\right.}$ и $ {g_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{g(x)},&\mbox{ при }x\in E;\\ 0,&\mbox{ при }x=x_0. \end{array}\right.}$

Тогда функции $ f_1(x)$ и $ g_1(x)$ -- бесконечно малые при $ x\to x_0$, непрерывные при $ x=x_0$; их производные таковы:

$\displaystyle f_1'(x)=-\dfrac{f'(x)}{(f(x))^2};\quad g_1'(x)=-\dfrac{g'(x)}{(g(x))^2}.$

Заметим теперь, что при $ x\in E$

$\displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{g_1(x)}{f_1(x)}$(5.3)
 


и

$\displaystyle \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'_1(x)(f(x))^2}{g'_1(x)(g(x))^2}= \dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)}\cdot\dfrac{1}{\left(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\right)^2}.$(5.4)
 


Из равенства (5.3) получаем, что $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=\dfrac{1}{M}$. Переходя к пределу в равенстве (5.4), получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)}=\dfrac{L}{M^2}.$

С другой стороны, применяя правило Лопиталя ( теорема 5.5) к бесконечно малым функциям $ f_1(x)$ и $ g_1(x)$, получим:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f_1'(x)}{g_1'(x)},$

откуда

$\displaystyle \dfrac{1}{M}=\dfrac{L}{M^2}.$

Из этого равенства следует, что $ M=L$, что и требовалось доказать.     

        Замечание 5.7   Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$); сделав замену $ z=\frac{1}{x}$, выведем, что оно верно для пределов при базах $ x\to\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$ (аналогично тому, как теорема 5.6 была выведена из теоремы 5.5).     
        Замечание 5.8   Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при $ x\to x_0$, все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин.     

Приведём ещё один пример, иллюстрирующий это важное замечание.

        Пример 5.5   Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$. Предел их отношения, очевидно, существует:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}= \lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x}\cdot\sin x)=1+0=1;$
в то же время отношение производных даёт
$\displaystyle \dfrac{(x+\sin x)'}{x'}=\dfrac{1+\cos x}{1}=1+\cos x,$
а эта функция не имеет никакого предела при $ x\to\infty$. Следовательно, для вычисления предела
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$
правило Лопиталя неприменимо.     

Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые).

        Пример 5.6   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что $ \sin x$ не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину $ x$; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2},$
в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что $ \cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ при $ x\to0$, и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}= \lim\limits_{x\to0}\d... ...c{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6},$
поскольку $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (это первый замечательный предел).
Итак, обоснование результата таково:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\cos x-1)'}{(3x^2)'}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\sin x}{6x}= -\frac{1}{6},$
откуда по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6},$
то есть
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=-\frac{1}{6},$
откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$
Как правило, при вычислениях эти рассуждения "обратного хода" не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела.     

 

Число размещений (без повторений) из n элементов по к

  равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых  равно n:

 , (1.2) 

или  . (1.3)

 Пример 1.3. Вычислить:

а)   б)

в)

г)

д)

  Пример 1.4. С помощью формулы (1.2) решается следующая задача. Каково число всех четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами?

Решение. Всего цифр 10. Число подборов четырех различных цифр равно. Однако сюда входят и те наборы, которые начинаются с нуля. Число таких наборов равно .

Искомое число четырехзначных чисел равно: 

Исследовать интегралы на сходимость:

  а). ; б). .

Решения. а). В качестве опорного интеграла возьмем сходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исходный интеграл сходится.

 б). В качестве опорного интеграла возьмем расходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

  Основная трудность при определении сходимости или расходимости исследуемого интеграла типа  с помощью признаков сравнения состоит в выборе опорного интеграла. В ряде случаев можно реализовать следующую методику. 1). Исследуем подынтегральную функцию исходного интеграла; если особенностей у исходного интеграла больше, чем одна, то разбиваем промежуток интегрирования так, чтобы на каждом участке интегрирования было по одной особенности. 2). Пытаемся упростить выражение подынтегральной функции с помощью эквивалентных преобразований при стремлении переменной к особой точке; полученное выражение можно принять за функцию  и исследовать интеграл . 3). Зная поведение интеграла , реализуем общий или предельный признаки сравнения.

 Пример 7а. Исследовать интегралы на сходимость или расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике