Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

        Определение 16.1   Группой называется непустое множество $ \mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:
  1. для любых $ \mathfrak{a},\,\mathfrak{b},\,\mathfrak{c}\in\mathfrak{G}$ выполнено
    $\displaystyle (\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b})\propto\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\propto(\mathfrak{b}\propto\mathfrak{c}) $
    (свойство ассоциативности);
  2. существует такой элемент $ \mathfrak{e}$ , $ \mathfrak{e}\in \mathfrak{G}$ , что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ , $ \mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , выполнено
    $\displaystyle \mathfrak{a}\propto\mathfrak{e}=\mathfrak{a}$
    (существование единицы или нуля);
  3. для любого элемента $ \mathfrak{a}$ , $ \mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , существует такой элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ , $ \tilde\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}$ , что
    $\displaystyle \mathfrak{a}\propto\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}$
    (существование обратного элемента).
        
        Пример 16.2   Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество целых чисел. В качестве операции $ \propto$ возьмем операцию сложения чисел. Тогда требования к операции записываются так:
  1. $ (\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{c}=\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})$ ;
  2. существует такое число $ \mathfrak{e}$ , что для любого числа $ \mathfrak{a}$ выполнено $ {\mathfrak{a}+\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ ;
  3. для любого числа $ \mathfrak{a}$ существует такое число $ \tilde\mathfrak{a}$ , что $ {\mathfrak{a}+\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .
Очевидно, что все три свойства для целых чисел выполнены, причем числом $ \mathfrak{e}$ является число 0, а числом $ \tilde\mathfrak{a}$ является число $ -\mathfrak{a}$ . Таким образом, множество целых чисел с операцией сложения является группой. Обозначается оно обычно $ \mathbb{Z}$ .         

Множество рациональных чисел с операцией сложения и множество вещественных чисел с операцией сложения тоже являются группами. Предоставляем проверку этого факта читателю. Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел, которая в свою очередь является подгруппой группы вещественных чисел по сложению.

        Пример 16.3   Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции "$ \propto$ " возьмем операцию обычного умножения. Тогда требования к операции запишутся так:
  1. $ (\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{c}=\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{c})$ ;
  2. существует такое число $ \mathfrak{e}$ , что $ {\mathfrak{a}\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ для любого числа $ \mathfrak{a}$ ;
  3. для любого числа $ \mathfrak{a}$ существует такое число $ \tilde\mathfrak{a}$ , что $ {\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .
Очевидно, что эти требования выполнены, причем $ {\mathfrak{e}=1}$ , а $ {\tilde \mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{-1}}$ . Таким образом множество положительных чисел с операцией умножения является группой.         

Множество вещественных чисел с операцией умножения группой не является. Действительно, если $ \mathfrak{a}$ взять равным нулю, то нет такого числа $ \tilde\mathfrak{a}$ , чтобы $ {\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=1}$ , так как $ {0\cdot\tilde\mathfrak{a}=0}$ . Множество же вещественных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения является группой. Проверку этого факта предоставляем читателю.

  Пример 1.13. Разложить по формуле Тейлора по степеням х функции:

а)  ,

б)  ,

в) .

Решение. а) . В формуле 1 мы не можем вместо х подставить 3х-2, так как  при . Функцию надо преобразовать так:

.

Вместо х мы имеем право подставить 3х, так как  при .

б) . Сначала преобразуем функцию так, чтобы первое слагаемое равнялось 1.

Запишем формулу бинома 6. для случая

Для данной функции вместо х подставляем :

в) . Так как здесь   при , то можно в формуле 6 вместо х записать х+6х2:

Однако, если квадратный трехчлен, находящийся под знаком логарифма, имеет действительные корни, то лучше разложить его на линейные множители и воспользоваться свойством логарифма произведения. 

Исследовать интегралы на сходимость:

  а). ; б). .

Решения. а). В качестве опорного интеграла возьмем сходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исходный интеграл сходится.

 б). В качестве опорного интеграла возьмем расходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

  Основная трудность при определении сходимости или расходимости исследуемого интеграла типа  с помощью признаков сравнения состоит в выборе опорного интеграла. В ряде случаев можно реализовать следующую методику. 1). Исследуем подынтегральную функцию исходного интеграла; если особенностей у исходного интеграла больше, чем одна, то разбиваем промежуток интегрирования так, чтобы на каждом участке интегрирования было по одной особенности. 2). Пытаемся упростить выражение подынтегральной функции с помощью эквивалентных преобразований при стремлении переменной к особой точке; полученное выражение можно принять за функцию  и исследовать интеграл . 3). Зная поведение интеграла , реализуем общий или предельный признаки сравнения.

 Пример 7а. Исследовать интегралы на сходимость или расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике