Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В этом разделе мы будем предполагать, что на множестве заданы две различные операции. Одну из них мы назовем "сложением" и будем обозначать знаком "+", а другую будем называть "умножением" и записывать в виде или .

        Определение 16.2   Непустое множество , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:

1. по отношению к операции сложения множество является абелевой группой;
2. для любых из выполнено (ассоциативность умножения);
3. для любых из выполнено , (дистрибутивность умножения);

        

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

1. множество целых чисел;
2. множество вещественных чисел;
3. множество многочленов;
4. множество функций, непрерывных на отрезке .

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.

Пример Доказать, что при  функции  и  будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они при этом эквивалентны?

Решение. Рассмотрим предел отношения этих функций.

Так как , то   и одного порядка малости, но  и, следовательно, они не эквивалентны.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

  До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

  Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

  Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

  Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .