Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ некоторой точки $ x_0\in\mathbb{R}$ и имеет всюду в окрестности $ E$ производные $ f^{(k)}(x)$ при $ k=1,2,\dots,n$. Многочленом Тейлора степени $ n$ в точке $ x_0$ называется такой многочлен $ P(x)$ степени $ n$, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке $ x_0$, равны соответствующим значениям функции $ f(x)$ и её производных $ f^{(k)}(x)$ до порядка $ n$ в этой же точке:

$\displaystyle P^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0); k=0,1,2,\dots,n.$

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций $ y=f(x)$ и $ y=P(x)$, по крайней мере при $ x$, близких к $ x_0$, будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство

$\displaystyle P(x_0)=f(x_0)$

означает, что графики проходят через одну и ту же точку $ (x_0;f(x_0))$; равенство

$\displaystyle P'(x_0)=f'(x_0)$

означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство

$\displaystyle P''(x_0)=f''(x_0)$

означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен $ P(x)$ степени $ n$ вида

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$
[an error occurred while processing this directive]

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома $ (x-x_0)$:

$\displaystyle P(x)=a_0(x-x_0)^n+a'_1(x-x_0)^{n-1}+a'_2(x-x_0)^{n-2}+\ldots+a'_{n-1}(x-x_0) +a'_n, $

и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням $ x$.

Действительно, положив $ t=x-x_0$, мы можем подставить $ x=t+x_0$ в правую часть формулы $ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$, раскрыть степени $ (t+x_0)^k$ при $ k=2,3,\dots,n$ по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты $ a_i$ (кроме $ a_0$) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ($ a'_i$ в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома $ x-x_0$, имеющий ту же степень $ n$.

Все эти четыре группы формул составляют таблицу эквивалентных бесконечно малых. Посмотрим на примерах, как применяются эти формулы.

  Пример 3.1. Найти пределы функций.

а)

.

Здесь при  и поэтому применяем формулу из группы (2) . Так как , то применяем формулы  и .

б)

;

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

  До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

  Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

  Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

  Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Математический анализ Типовые расчеты по математике