Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

\begin{multline} P(x)= a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+a_{n-2}(x-x_0)^{n-2}+\ldots+\\ +a_2(x-x_0)^2+a_1(x-x_0)+a_0 \end{multline}

при некоторых коэффициентах $ a_k$, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора $ a_k$ по значениям производных данной функции в точке $ x_0$.

Учтём требование к значению многочлена: $ P(x_0)=f(x_0)$. Подставив в равенство (Тейлор 1) $ x=x_0$, получим, что $ P(x_0)=a_0$, так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

$\displaystyle a_0=f(x_0).$

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P'(x)= na_n(x-x_0)^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+(n-2)a_{n-2}(x-x_0)^{n-3}+\\ +\ldots+2a_2(x-x_0)+a_1. \end{multline}

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение $ x=x_0$, получим, что $ P'(x_0)=a_1$, так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

$\displaystyle a_1=f'(x_0).$

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: $ {P''(x_0)=f''(x_0)}$. Вторая производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P''(x)= n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}(x-x_0)^{n-3}+\\ +(n-2)(n-3)a_{n-2}(x-x_0)^{n-4}+\ldots+2a_2. \end{multline}

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение $ x_0$, получим, что $ P''(x_0)=2a_2$, откуда

$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}f''(x_0).$

Далее нетрудно сообразить, что получится $ P'''(x_0)=3\cdot2a_3=f'''(x_0)$, откуда

$\displaystyle a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0),$

и вообще,

$\displaystyle 84 a_k=\frac{1}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}f^{(k)}(x_0),$   
 


при $ k=3,4,\dots,n$. Учитывая, что $ 0!=1$, $ 1!=1$, $ 2!=2$, $ 3!=2\cdot3$, ..., последнюю формулу можно записать в виде

$\displaystyle 85 a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0),\; k=0,1,2,\dots,n.$   
 


Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ имеет вид

$\displaystyle P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$

 

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.  

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.  

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  

[an error occurred while processing this directive]

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.  Суммой векторов является вектор -  Произведение - , при этом  коллинеарен . Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­), если a > 0. Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0. Свойства векторов.  1)  + = +  - коммутативность.  2)  + (+ ) = ( + )+  3)  +  =    4)  +(-1) =   5) (a×b) = a(b) – ассоциативность   6) (a+b) = a + b - дистрибутивность   7) a( + ) = a + a   8) 1× =  

Определение. 1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке. 3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.   Определение. Если  - базис в пространстве и  , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора  в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие свойства: - равные векторы имеют одинаковые координаты, - при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, = . - при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. ; ;  + =

процесс модуляции Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Родился в Остенфельде, предместье Эннигерло, Северный Рейн — Вестфалия, в семье чиновника.

1834: закончил с отличием гимназию в Падерборне и, по настоянию отца, поступил на юридический факультет Боннского университета. Проучившись 4 года, в течение которых вместо юриспруденции Вейерштрасс усиленно занимался математикой, он бросил университет и поступил в Мюнстерскую академию. Степенные ряды

1840: подготовил экзаменационную работу по теории эллиптических функций, в которой уже содержатся зачатки его будущих открытий. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электpический ток лекции и конспекты по физике

1841: в новой работе Вейерштрасс установил: если последовательность аналитических функций, равномерно сходится внутри некоторой области (то есть в каждом замкнутом круге, принадлежащем области), то предел последовательности — тоже функция аналитическая. Здесь ключевым условием является равномерность сходимости; это понятие и строгая теория сходимости стали одним из важнейших вкладов Вейерштрасса в обоснование анализа.

Задача о колебании струны Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции