Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)   Пусть при всех $ x\in E$ существует $ (n+1)$-я производная $ f^{(n+1)}(x)$. Тогда для любого $ x$ существует точка $ x_{{\theta}}$, лежащая между $ x_0$ и $ x$ (то есть $ x_{{\theta}}=x_0+{\theta}(x-x_0)$ при $ {\theta}\in(0;1)$), такая что
$\displaystyle R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$
(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

        Доказательство.     Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию $ r$ переменного $ t$, изменяющегося в рассматриваемой окрестности $ E$ точки $ x_0$. Эта функция будет зависеть также от параметра $ {\alpha}\in\mathbb{R}$:

$\displaystyle r(t)=f(x)-f(t)-f'(t)(x-t)-\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n-\dfrac{{\alpha}}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}.$

Подберём такое значение параметра $ {\alpha}$, равное $ {\alpha}_0$, чтобы при $ t=x_0$ функция обращалась в 0: $ r(x_0)=0$. Фиксируем такое значение $ {\alpha}={\alpha}_0$.

Тогда функция $ r(t)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке $ [x;x_0]$ (или $ [x_0;x]$, если $ x>x_0$): $ r(x)=0$, что очевидно по определению функции $ r(t)$; $ r(x_0)=0$ согласно выбору параметра; дифференцируемость на $ (x;x_0)$ и непрерывность в точках $ x$ и $ x_0$ следуют из предположенных свойств функции $ f(x)$. По теореме Ролля существует такая точка $ x_{{\theta}}\in(x;x_0)$, что

$\displaystyle r'(x_{{\theta}})=0.$

Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции $ r(t)$, что

$\displaystyle r'(t)=-f'(t)+f'(t)-f''(t)(x-t)+\dfrac{f''(t)}{2}\cdot2(x-t)-\ldots-$   
$\displaystyle -\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n+\dfrac{{\alpha}_0}{(n+1)!}(n+1)(x-t)^n.$   
 


Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем

$\displaystyle r'(t)=-\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n+\dfrac{{\alpha}_0}{(n+1)!}(n+1)(x-t)^n.$

Подстановка $ t=x_{{\theta}}$ даёт

$\displaystyle r'({\theta})=0=-\dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{n!}(x-x_{{\theta}})^n +\dfrac{{\alpha}_0}{n!}(x-x_{{\theta}})^n,$

откуда следует, что

$\displaystyle {\alpha}_0=f^{(n+1)}(x_{{\theta}}).$

Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что $ r(x_0)=0$. Подставив найденное значение $ {\alpha}_0$ в выражение для $ r(x_0)$, получим:

$\displaystyle r(x_0)=0=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots-$   
$\displaystyle -\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n- \dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$   
 


Отсюда получаем, наконец,

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-P(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$

что и требовалось доказать.     

        Замечание 6.1   Полученную в предыдущей теореме оценку остатка удобно применять для оценки погрешности при замене функции её многочленом Тейлора, если известно, что $ (n+1)$-я производная при всех $ x$ из рассматриваемого интервала ограничена по абсолютной величине некоторым числом:
$\displaystyle \vert f^{(n+1)}(x)\vert\leqslant M_{n+1}.$
Тогда
$\displaystyle \vert f(x)-P(x)\vert\leqslant M_{n+1}(x-x_0)^{n+1},$
и при каждом фиксированном $ x$ мы можем узнать оценку погрешности приближённой формулы $ f(x)\approx P(x)$.     
        Замечание 6.2   Мы всюду подчёркивали, что приближённая формула $ f(x)\approx P(x)$ имеет место только при малых значениях отклонения $ x-x_0$. Надежды на то, что при увеличении $ n$ интервал, на котором можно будет применять с заданной точностью эту приближённую формулу, будет расширяться, вообще говоря, не оправдываются. Для пояснения сказанного приведём пример.
Пусть рассматривается функция $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$, доопределённая при $ x=0$ по непрерывности: $ f(0)=0$. Ранее мы уже рассматривали эту функцию и выяснили, что все её производные существуют на всей оси $ Ox$ и при $ x=0$ равны 0: $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Это означает, что при любом порядке $ n$ многочлена Тейлора все его коэффициенты $ a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$ равны 0, и формула Тейлора сводится к равенству $ f(x)=R_n(x)$. Таким образом, любой остаток в формуле Тейлора для этой функции в точке 0 равен одному и тому же, а именно, самой функции $ f(x)$! Поэтому уменьшить остаток за счёт увеличения $ n$ здесь никак не возможно: единственным приближением, которое формула Тейлора даёт для функции $ f(x)$, здесь служит тождественный 0.     

Определение.

Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:  det A = , где (1) М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.   Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:   det A =  (2)  Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:  detA = , i = 1,2,…,n. (3) Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1.  Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.  

 Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.  

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:   det A = det AT;   

Свойство 2.   det ( A ± B) = det A ± det B.  

Свойство 3.  det (AB) = detA×detB  

[an error occurred while processing this directive]

Свойство 4.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.  

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.  

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

  Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)  

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.  

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ±d2 , e = e1 ±e2 , f = f1 ±f2 , то верно:

 

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

  До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

  Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

  Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

  Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Математический анализ Типовые расчеты по математике