Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

   Пример 1.11   В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёров $ P_1$ и $ P_2$ каждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра. Пусть множества вариантов действий (эти варианты называются стратегиями) партнёров конечны: $ P_1$ может выбирать одну из стратегий из множества $ {\mathrm A}=\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_m\}$, а $ P_2$ -- из множества $ {\mathrm B}=\{{\beta}_1,\dots,{\beta}_n\}$. Если $ P_1$ выбрал стратегию $ {\alpha}_i\; (i=1,...,m)$, а $ P_2$ -- стратегию $ {\beta}_j\; (j=1,...,n)$, то однозначно определены выигрыши: у первого партнёра он равен числу $ u_{ij}=f_1({\alpha}_i,{\beta}_j)$, а у второго -- числу $ v_{ij}=f_2({\alpha}_i,{\beta}_j)$. Рассмотрим функцию $ f: {\mathrm A}\times{\mathrm B}\to\mathbb{R}^2$, такую что
$\displaystyle f:({\alpha}_i,{\beta}_j)\mapsto(f_1({\alpha}_i,{\beta}_j),f_2({\alpha}_i,{\beta}_j))=(u_{ij},v_{ij}).$
Эта функция называется функцией выигрышей или платёжным отображением игры. Её можно полностью задать, сведя все данные в таблицу вида
$ {\mathrm A}\diagdown {\mathrm B}$$ {\beta}_1$$ {\beta}_2$$ \dots$$ {\beta}_n$
$ {\alpha}_1$$ (u_{11},v_{11})$$ (u_{12},v_{12})$$ \dots$ $ (u_{1n},v_{1n})$
$ {\alpha}_2$$ (u_{21},v_{21})$$ (u_{22},v_{22})$$ \dots$$ (u_{2n},v_{2n})$
$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$
$ {\alpha}_m$$ (u_{m1},v_{m1})$$ (u_{m2},v_{m2})$$ \dots$$ (u_{mn},v_{mn})$

то есть задав одну матрицу, элементы которой -- пары чисел $ (u_{ij},v_{ij})$, или же задав две числовые матрицы $ f_1$ и $ f_2$ размера $ m\times n$:
$\displaystyle f_1=\begin{pmatrix} u_{11}&u_{12}&\dots&u_{1n}\\ u_{21}&u_{22}... ...\\ \dots &\dots &\dots&\dots\\ v_{m1}&v_{m2}&\dots&v_{mn} \end{pmatrix}. $

Пример 4.8   Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ . (Заметим, что функция $ f(x)$ не определена при $ \vert x\vert\geqslant 1$ и стремится к $ +\infty$ при $ x\to1-$ , так что указанная фигура -- неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.):

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Рис.4.8.



Возьмём -->$ b_1\in[0;1)$ и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \arcsin x\Bigr\vert _0^{b_1}=\arcsin b_1-\arcsin 0=\arcsin b_1.$

Далее вычисляем предел:

$\displaystyle \lim_{b_1\to1-}\Phi(b_1)= \lim_{b_1\to1-}\arcsin b_1=\frac{\pi}{2}.$

Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:

$\displaystyle S=\frac{\pi}{2}.$

        Замечание 4.4   Как и в случае несобственных интегралов первого рода, часто понимают вычисление предела подстановки $ \Phi(x)\Bigl\vert _a^{b_1}$ как подстановку с верхним предельным значением $ b$ :

$\displaystyle \lim_{b_1\to b-}\Phi(x)\Bigl\vert _a^{b_1}=\Phi(x)\Bigl\vert _a^b,$

имея в виду, что подстановка верхнего предела интегрирования означает переход к левостороннему пределу при $ b_1\to b-$ .

При таком обозначении запись вычисления в предыдущем при=мере выглядит так:

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x\Bigr\vert _0^1=\arcsin1-\arcsin0= \arcsin1=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что здесь мы, глядя на эти вычисления, могли и не заметить, что вычисляемый интеграл -- несобственный. Это произошло потому, что первообразная $ \arcsin x$ , которую мы использовали для вычисления подстановки, непрерывна слева в точке $ b=1$ .     

        Определение 4.7   Аналогично интегралу по полуинтервалу $ [a;b)$ от функции $ f(x)$ с особенностью в точке $ b$ , определяется несобственный интеграл второго рода от функции $ f$ , имеющей особенность в точке $ a$ полуинтервала $ (a;b]$ :

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=I,$

если существует предел

$\displaystyle I=\lim_{a_1\to a+}\int_{a_1}^bf(x)\;dx.$

В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся.     

Математический анализ Типовые расчеты по математике