Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку $ O$ и возьмем произвольную точку $ M$ . Радиус-вектором точки $ M$ по отношению к точке $ O$ называется вектор $ \overrightarrow {OM}$ .

Если в пространстве выбран базис, то вектор $ \overrightarrow {OM}$ раскладывается по этому базису. Таким образом точке $ M$ можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

 

        Определение 10.17   Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.        

 

Точка $ O$ носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая -- осью абсцисс, вторая -- осью ординат, третья -- осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

 

 

        Определение 10.18   Координаты радиус-вектора точки $ M$ по отношению к началу координат называются координатами точки $ M$ в рассматриваемой системе координат.        

 

Первая координата называется абсциссой, вторая -- ординатой, третья -- аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты -- абсциссу и ординату.

Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку, например $ A(1;2;-3)$ , $ B(x_0;y_0;z_0)$ .

 

 

        Определение 10.19   Декартова система координат называется прямоугольной, если векторы базиса -- единичные и попарно ортогональные (перпендикулярные) друг другу.        

 

В дальнейшем мы будем использовать лишь декартову прямоугольную систему координат и для краткости будем называть ее просто "система координат".

Единичные попарно ортогональные векторы базиса принято, как правило, обозначать i, j, k.

 

 

        Определение 10.20   Базис, образованный единичными попарно ортогональными векторами, называют ортонормированным.        

 

На рис. 10.15 показаны два способа изображения точки $ A(-1;2;3)$ по ее координатам.




Рис.10.15.Построение точки


Так как точку пространства мы вынуждены изображать на плоскости, то, пока не указаны линии, связывающие изображение точки с осями координат, установить ее положение в пространстве невозможно! Это показывает рис. 10.16.




Рис.10.16.


Зная координаты начала и координаты конца вектора, можно определить координаты самого вектора.

 

        Предложение 10.12   Если точки заданы своими координатами $ A({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)$ , $ B({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)$ , то $ {\overrightarrow {AB}= ({\beta}_1-{\alpha}_1;{\beta}_2-{\alpha}_2;{\beta}_3-{\alpha}_3)}$ .

 

        Доказательство.    Очевидно соотношение $ \overrightarrow {OB}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}$ (рис. 10.17),




Рис.10.17.Координаты вектора


откуда $ {\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}}$ . Так как, по определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то $ {\overrightarrow {OB}=({\beta}_1;{\beta}_2; {\beta}_3)}$ , $ {\overrightarrow {OA}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ . В силу  предложений 10.4, 10.5 получим $ {\overrightarrow {AB}= ({\beta}_1-{\alpha}_1;{\beta}_2-{\alpha}_2;{\beta}_3-{\alpha}_3)}$ .    

 Предложение 10.12 можно сформулировать так: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

  Теорема 1.2   Пусть $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ (a;b)$ и $ G(x)$  -- некоторая другая первообразная. Тогда

$\displaystyle G(x)=F(x)+C$

при некоторой постоянной $ C$ .

        Доказательство.     Рассмотрим разность $ {H(x)=G(x)-F(x)}$ . Поскольку $ {F'(x)=f(x)}$ и $ {G'(x)=f(x)}$ , то $ {H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0}$ . Покажем, что функция $ H(x)$ , такая что $ {H'(x)=0}$ при всех $ {x\in(a;b)}$ , -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки $ x_0$ и $ x_1$ , принадлежащие $ (a;b)$ , и к отрезку между $ x_0$ и $ x_1$ (пусть это $ {[x_0;x_1]}$ ) применим формулу конечных приращений

$\displaystyle H(x_1)-H(x_0)=H'(x^*)(x_1-x_0),$

где $ x^*\in(x_0;x_1)$ . (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку $ H'(x)=0$ во всех точках $ x\in(a;b)$ , в том числе и $ H'(x^*)=0$ , то $ H(x_1)-H(x_0)=0$ . Следовательно, в произвольной точке $ x_1$ функция $ H(x)$ принимает то же значение, что в точке $ x_0$ , то есть $ {H(x)=C=\mathrm{const}}$ .

Для первообразной $ G(x)$ это означает, что $ G(x)-F(x)=C$ при любом $ x\in(a;b)$ , то есть

$\displaystyle G(x)=F(x)+C,$

что и требовалось доказать.     

        Замечание 1.1   Заметим, что если равенства $ F'(x)=f(x)$ и $ G'(x)=f(x)$ выполнены для функций $ F$ и $ G$ не на одном интервале $ (a;b)$ , а на двух или больше непересекающихся интервалах $ (a_k;b_k)$ , $ k=1,2,\dots$ , то мы можем лишь утверждать, что, согласно доказанной теореме, $ G(x)=F(x)+C_k$ , где постоянные $ C_k$ могут быть разными для разных интервалов $ (a_k;b_k)$ . С другой стороны, очевидно, что при любых $ C_k$ функция $ G(x)=F(x)+C_k$ даёт ту же производную, что и $ F(x)$ , в любой точке $ x$ объединения интервалов.

Например, поскольку $ (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\frac{1}{\cos^2x}$ при всех $ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$ , где $ k\in\mathbb{Z}$ (то есть функция $ \mathop{\rm tg}\nolimits x$  -- это первообразная для функции $ \frac{1}{\cos^2x}$ на каждом из непересекающихся интервалов $ \bigl(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\bigr)$ области определения тангенса $ \mathcal{D}(\mathop{\rm tg}\nolimits )$ ), то при любых постоянных $ C_k$ функция $ G$ , заданная на объединении всех этих интервалов равенством

$\displaystyle G(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C_k$ при $\displaystyle x\in \bigl(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\bigr),\ k\in\mathbb{Z},$

будет давать $ G'(x)=\frac{1}{\cos^2x}$ . Эту функцию можно назвать первообразной для $ f(x)=\frac{1}{\cos^2x}$ с тем же правом, что и функцию $ F(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Заметим, что мы не можем утверждать, что $ G(x)=F(x)+\mathrm{const}$ в этом случае: $ C=C(x)=C_k$  -- это не постоянная, а кусочно постоянная на интервалах области определения тангенса функция. Итак, утверждение, что первообразная для $ \frac{1}{\cos^2x}$ имеет вид $ \mathop{\rm tg}\nolimits x+C$ , нужно правильно понимать: либо имеется в виду, что при этом $ x$ изменяется лишь в пределах только одного из интервалов непрерывности тангенса, либо что $ C=C(x)$  -- кусочно постоянная на объединении этих интервалов функция.

Аналогично обстоит дело и в случае других функций, имеющих в качестве области определения объединение непересекающихся интервалов. Например, поскольку при всех $ x\ne0$ имеет место равенство

 

$\displaystyle \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)'=\frac{1}{x^2},$

то на объединении двух интервалов $ (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ первообразной для $ f(x)=\frac{1}{x^2}$ будет служить любая функция $ G(x)=-\frac{1}{x}+C(x)$ , где $ C(x)=\left\{\begin{matrix} C_1,\text{ при }x<0;\\ C_2,\text{ при }x>0, \end{matrix}\right.$ а $ C_1$ и $ C_2$  -- произвольные постоянные.     

Математический анализ Типовые расчеты по математике