Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 Замечание 17.1   В электротехнике, где буква $ i$ обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой $ j$ .         

Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно или запомнить формулу (17.4), или, что проще, каждый раз при выполнении деления умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

        Пример 17.1   Пусть $ {z_1=2-3i}$ , $ {z_2=1+4i}$ . Тогда:
$\displaystyle z_1+z_2=(2-3i)+(1+4i)=3+i,$
[an error occurred while processing this directive]
$\displaystyle z_1-z_2=(2-3i)-(1+4i)=1-7i,$
$\displaystyle z_1z_2=(2-3i)(1+4i)=2-3i+8i-12i^2=2+5i+12=14+5i,$
$\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\ovl z_1}{z_1\ovl z_1}=\frac{(1+4i)(2+3i... ...c{2+8i+3i+12i^2}{4-9i^2}= =\frac{2+11i-12}{4+9}=-\frac{10}{13}+\frac{11}{13}i.$
Вычислим еще $ \dfrac 1i$ :
$\displaystyle \frac1i=\frac{1(-i)}{i(-i)}=\frac{-i}1=-i.$
Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера): Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. Di =  

 

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

  До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

  Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

  Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

  Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Математический анализ Типовые расчеты по математике