Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения $ {x^2+1=0}$ мы одно решение знаем: $ {x_1=i}$ . Очевидно, что $ {(-i)^2=i^2=-1}$ , поэтому $ {x_2=-i}$ . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.

        Замечание 17.2   Числа $ i$ и $ -i$ в поле комплексных чисел абсолютно равноправны. Если бы число $ -i$ обозначить $ i'$ и построить с этим обозначением новое поле комплексных чисел, то оно будет в точности таким же, как и исходное.         

Рассмотрим уравнение $ {x^2+c=0}$ , где $ c$  -- вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни $ {x_1=\sqrt c\,i}$ , $ {x_2=-\sqrt c\,i}$ , где $ \sqrt c$  -- обычный арифметический корень.

Решим уравнение $ {ax^2+bx+c=0}$ , где $ a,\,b,\,c$  -- вещественные числа, $ {a\ne0}$ , $ {D=b^2-4ac<0}$ . Для этого выделим в правой части полный квадрат (см.  пример 12.1):

$\displaystyle a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0.$

Откуда

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle \left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0.$

Если $ {x+\dfrac b{2a}}$ обозначить $ y$ , а $ \dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$ обозначить $ d$ , то получим уравнение предыдущего типа, его решения:

$\displaystyle y_1=\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a^2}}i=\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i,\quad y_2=-\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i.$

Поэтому

$\displaystyle x_{1,2}+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i,$

то есть

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\vert D\vert}i}{2a}.$

Итак, если дискриминант $ D$ отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\vert D\vert}i}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\vert D\vert}i}{2a}.$(17.5)
 


        Пример 17.2   Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .
Решение. Находим дискриминант:
$\displaystyle D=4-20=-16,\quad \vert D\vert=16.$
Находим корни:
$\displaystyle x_1=\frac{-2+\sqrt{16}i}2=-1+2i,\quad x_2=\frac{-2-\sqrt{16}i}2=-1-2i.$
Ответ: $ {x_1=-1+2i,\quad x_2=-1-2i}$ .         

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

  Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:   , (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.  

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.    

[an error occurred while processing this directive]

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А =  называется матрицей системы, а матрица А*=  называется расширенной матрицей системы  

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

  До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

  Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

  Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

  Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Математический анализ Типовые расчеты по математике