Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример 17.3   Изобразим на комплексной плоскости числа , , , , :

Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости

        [an error occurred while processing this directive]

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).

Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел

Пусть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается . Из рисунка 17.4 очевидно, что

(17.6)

  Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.  

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.  

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

[an error occurred while processing this directive]

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

 Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:   (1) Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.  Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: . Теорема доказана.  Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1. K₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.  Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.  Находим: k₁ = 3/5,  k₂ = -5/3,  k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.  

Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8)  .

При выполнении условий, налагаемых на функции  и  интеграл

(9) 

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

 Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.