Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пример 17.7 Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .
Решение. Находим модуль и аргумент числа:
$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=\frac{3\pi}4.$
Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:
$\displaystyle z=\sqrt2e^{\frac{3\pi}4i}.$

Пример 17.8 Комплексное число записано в показательной форме
$\displaystyle z=2e^{\frac{\pi}6i}.$
Найдите его алгебраическую форму.
Решение. По формуле Эйлера
$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}2+ i\frac12\right)=\sqrt3+i.$
Итак, алгебраическая форма числа: $ {z=\sqrt3+i}$ .

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть $ {z=x+iy}$ . Тогда

$\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$

Например,

$\displaystyle e^{2+\frac{5\pi}6i}=e^2\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)= -e^2\frac{\sqrt3}2+\frac{e^2}2i.$

Заменим в формуле Эйлера $ {\varphi}$ на $ -{\varphi}$ . Получим:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi}).$

С учетом свойств тригонометрических функций имеем:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos{\varphi}-i\sin{\varphi}.$

Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:

$\displaystyle e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}=2\cos{\varphi}.$

Откуда

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}}2.$(17.11)


Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}-e^{-i{\varphi}}}{2i}.$(17.12)


С помощью формулы для косинуса вычислим, например, $ \cos(5i)$ :

$\displaystyle \cos(5i)=\frac{e^{i(5i)}+e^{-i(5i)}}2=\frac{e^{-5}+e^5}2 \approx 74.21.$

Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции $ \cos z$ и $ \sin z$ , определяемые с помощью формул(17.11) и(17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

$\displaystyle \cos{\varphi}=ch(i{\varphi}),\quad \sin{\varphi}=-i sh(i{\varphi})$ (17.13)

Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).

Отметим также, что формулы(17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.

 

Определение. Смешанным произведением векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор, равный векторному произведению векторов  и .  Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

    Свойства смешанного произведения:  

1)Смешанное произведение равно нулю, если:  а)хоть один из векторов равен нулю;  б)два из векторов коллинеарны;   в)векторы компланарны.  

2)  

3)  

4)

  5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами ,  и , равен  

6)Если , , то  

[an error occurred while processing this directive]

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов: , Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.  

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2). Найдем координаты векторов: Объем пирамиды Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD. Sосн = (ед2) Т.к. V = ; (ед)

Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8)  .

При выполнении условий, налагаемых на функции  и  интеграл

(9) 

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

 Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Математический анализ Типовые расчеты по математике