Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения
$\displaystyle z^n=w,$(17.14)

где неизвестным служит $ z$ , а $ w$  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде $ {z=\sqrt[n] w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень $ n$ -ой степени из комплексного числа $ w$ . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если $ {w=0}$ , то $ {z=0}$ . Пусть $ {w\ne0}$ . Запишем число $ w$ в тригонометрической форме: $ {w=\rho(\cos\psi+i\sin\psi)}$ . Здесь $ \rho$ и $ \psi$  -- известные величины. Запишем неизвестное число $ z$ в тригонометрической форме: $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Здесь $ r$ и $ {\varphi}$  -- неизвестны. По формуле Муавра

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$
Таким образом,
$\displaystyle r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi})=\rho(\cos\psi+i\sin\psi).$
Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому $ {r^n=\rho}$ . В этом соотношении $ r$ и $ \rho$  -- положительные числа, следовательно $ {r=\sqrt[n]{\rho}}$ , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную $ {2\pi}$ . Поэтому $ {n{\varphi}=\psi+2\pi k}$ , $ {k\in\mathbb{Z}}$ . Отсюда находим, что

$\displaystyle {\varphi}=\frac{\psi+2\pi k}n.$
В итоге получили:
$\displaystyle z=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\psi+2\pi k}n+i\sin\frac{\psi+2\pi k}n \right),\quad k=0,1,\ldots,n-1.$(17.15)

Значения $ k$ , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения $ z$ , которые можно получить при $ {k=0,1,\ldots,n-1.}$
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда

Скалярное произведение векторов.  

Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. × = ïïïïcosj

 Свойства скалярного произведения: 1) × = ïï2;2) × = 0, если ^ или = 0 или  = 0.3) × = ×;4) ×(+) = ×+ ×;5) (m)× = ×(m) = m(×); Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = xa xb + ya yb + za zb;  Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ;  

Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если 10×- 5×+ 6×- 3× = 10,  т.к. .    

Пример. Найти угол между векторами и , если . Т.е.  = (1, 2, 3), = (6, 4, -2) ×= 6 + 8 – 6 = 8: . cosj =  

Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8)  .

При выполнении условий, налагаемых на функции  и  интеграл

(9) 

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

 Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Математический анализ Типовые расчеты по математике