Второй семестр интегралы контрольная работа

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела Метод Ньютона Нахождени е дифференциала Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики

Пример 17.9 Найдите корни уравнения ${z^4=-1}$ .
Решение. Запишем число в тригонометрической форме:
$\displaystyle -1=1\cdot (\cos\pi+i\sin\pi),$
то есть ${\rho=1}$ , ${\psi=\pi}$ . Тогда
$\displaystyle z=\sqrt[4]1\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}4=i\sin\frac{\pi+2\pi k}4\right), k=0,1,2,3.$
При получим:
$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При получим:
$\displaystyle z_2=\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При получим:
$\displaystyle z_3=\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
При получим:
$\displaystyle z_4=\cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
Ответ: ${z_1=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , ${z_2=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , ${z_3=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ , ${z_4=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ .

Уравнение плоскости в отрезках.
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1; 0; 3), A₂(2; -1; 3), A₃(2; 1; 1), A₄(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А₁А₂.

2) Найти угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄.
3) Найти угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃. Сначала найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃ как векторное произведение векторов и. = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2); Найдем угол между вектором нормали и вектором . -4 – 4 = -8. Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 90⁰ - b.
4) Найти площадь грани А₁А₂А₃.
5) Найти объем пирамиды. (ед³).
6) Найти уравнение плоскости А₁А₂А₃. Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки. 2x + 2y + 2z – 8 = 0 x + y + z – 4 = 0;

Установить абсолютную сходимость интеграла: .

Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где интегрируема и ограничена, то есть:

(7) ;

а функция при непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8) .

При выполнении условий, налагаемых на функции и интеграл

(9)

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Математический анализ Типовые расчеты по математике