Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение 7.4   Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$.

        Теорема 7.4   Если точка $ x_0$ -- это точка локального экстремума функции $ f(x)$, и существует производная в этой точке $ f'(x_0)$, то $ f'(x_0)=0$.

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция $ f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $ x_0$, то либо
1) $ f'(x_0)=0$, либо
2) производная $ f'(x_0)$ не существует.

[an error occurred while processing this directive]

Точка $ x_0$ называется критической точкой функции $ f(x)$, если $ f(x)$ непрерывна в этой точке и либо $ f'(x_0)=0$, либо $ f'(x_0)$ не существует. В первом случае (то есть при $ f'(x_0)=0$) точка $ x_0$ называется также стационарной точкой функции $ f(x)$.

Итак, локальный экстремум функции $ f(x)$ может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 7.18   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4+2x^2+5$. Её производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$ и равна $ f'(x)=4x^3+4x$. Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением $ 4x^3+4x=0$. Это уравнение можно записать в виде $ 4x(x^2+1)=0$; оно имеет единственный корень $ x=0$: это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2+1)^2+4$, легко увидеть, что в стационарной точке $ x=0$ функция имеет минимум, равный $ (0^2+1)^2+4=5$.     

Рис.7.21.График функции $ y=x^4+2x^2+5$


        Пример 7.19   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2+5$. Как и в предыдущем примере, производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$; она равна $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$. Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: $ -1;0;1$.

Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2-1)^2+4$, легко увидеть, что в точках $ x=\pm1$ функция имеет минимум, так как в этих точках выражение $ x^2-1$ обращается в 0, и

$\displaystyle f(x)=4+(x^2-1)^2\geqslant 4=f(\pm1).$

Если же мы запишем функцию в виде $ f(x)=5-x^2(4-x^2)$, то убедимся, что точка $ x=0$ -- точка локального максимума, поскольку при малых $ \vert x\vert$ выражение $ 4-x^2$ положительно, и

$\displaystyle f(x)=5-x^2(4-x^2)\leqslant 5=f(0).$

    

Рис.7.22.График функции $ y=x^4-2x^2+5$
 

Векторное произведение векторов.  

Определение. Векторным произведением векторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) , где j - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и 3) , и  образуют правую тройку векторов. Обозначается:  или. Свойства векторного произведения векторов: 1) ; 2) , если ïï или = 0 или = 0; 3) (m)´= ´(m) = m(´); 4) ´(+ ) = ´+ ´ ; 5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то ´= 6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

  Пример. Найти векторное произведение векторов и .  = (2, 5, 1); = (1, 2, -3) .

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Математический анализ Типовые расчеты по математике