Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

   Пример 7.20   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Производная этой функции существует при всех $ x$, кроме $ x=0$: при $ x>0$ $ f(x)=x$ и $ f'(x)=1\ne0$; при $ x<0$ $ f(x)=-x$ и $ f'(x)=-1\ne0$. Значит, единственная критическая точка -- та, в которой производная не существует, то есть $ x=0$. В этой точке, как легко видеть, $ f(x)$ имеет минимум.     
        Пример 7.21   Рассмотрим функцию
$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{\frac{1}{3}}.$
Заметим, что функция непрерывна при всех $ x\in\mathbb{R}$. Её производная равна
$\displaystyle f'(x)= \frac{1}{3}(x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot2x=\frac{2}{3}\vert x\vert^{-\frac{1}{3}}\mathop{\rm sign}\nolimits x\ne0$
при $ x\ne0$ и не существует при $ x=0$. Значит, единственная критическая точка функции -- это $ x=0$. Поскольку $ f(x)>0$ при $ x\ne0$ и $ f(0)=0$, то $ x=0$ -- точка минимума.     

Рис.7.23.График функции $ y=\sqrt[3]{x^2}$


Не следует думать, что любая критическая точка функции даёт либо локальный максимум, либо локальный минимум. В некоторых критических точках экстремума может не оказаться вовсе.

        Пример 7.22   Рассмотрим функцию $ f(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$. Её производная равна
$\displaystyle f'(x)=3(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^2\cdot\dfrac{1}{x^2+1},$
она существует при всех $ x\in\mathbb{R}$. Уравнение $ f'(x)=0$ имеет решение $ x=0$ -- это единственная критическая точка функции $ f$. Однако $ x=0$ не является точкой локального экстремума, поскольку $ f(x)<0$ при всех $ x<0$ и $ f(x)>0$ при всех $ x>0$.     

Рис.7.24.График функции $ y=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$


Пусть требуется отыскать максимальное и минимальное значения функции $ f(x)$, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$. Согласно сказанному выше, если точка экстремума (максимума либо минимума) -- это внутренняя точка отрезка, то эта точка обязана быть критической. Следовательно, точка экстремума $ f(x)$ на $ [a;b]$ -- это либо критическая точка, либо один из концов отрезка.

Отсюда следует такой способ поиска максимума и минимума функции на $ [a;b]$: надо найти список "подозрительных" точек, включив в него: а) концы отрезка, то есть точки $ a$ и $ b$; б) стационарные точки, то есть все решения уравнения $ f'(x)=0$; в) критические точки, не являющиеся стационарными, то есть те точки отрезка, в которых функция непрерывна, но производная $ f'(x)$ не существует. Как правило, в этот список "подозрительных" точек входит конечное число точек. Во всех этих точках можно вычислить значение функции; максимальное и минимальное значение функции на отрезке будут содержаться в этом наборе значений, и их можно будет легко отыскать, а заодно установить и те значения $ x$, при которых эти экстремальные значения достигаются.

        Пример 7.23   Найдём наибольшее и наименьшее значения функции
$\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-17$
на отрезке $ [-2;3]$.
Имеем: $ f'(x)=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)$. Производная существует при всех $ x$, так что все критические точки функции являются стационарными, а стационарные точки задаются уравнением $ x^2+4x-5=0$. Это квадратное уравнение имеет корни $ x_1=-5$ и $ x_2=1$; первый корень не попадает на расматриваемый отрезок $ [-2;3]$, а второй попадает. Поэтому список "подозрительных" точек таков: $ -2;-1;3$ (оба конца отрезка и стационарная точка).
Вычисляем значения функции во всех точках списка:
$\displaystyle f(-2)=29; f(-1)=3; f(3)=19.$
Поэтому
$\displaystyle \min_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-1)=3;\quad \max_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-2)=29.$

Уравнение линии на плоскости.

 Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.  

Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.  Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.  Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Математический анализ Типовые расчеты по математике