Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

    Пример 17.10   Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .
Решение. Находим дискриминант:
$\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$
Решим уравнение $ y^2=D$ . Для этого находим $ \vert D\vert=50$ . Пусть $ {{\varphi}=\arg D}$ . Тогда $ {\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на $ (-1)$ . По формуле (17.15)
$\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$
По формулам половинного аргумента с учетом того, что $ {0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим
$\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}= \frac7{5\sqrt2},$
$\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}= \frac1{5\sqrt2}.$
Таким образом, $ {\sqrt D=7+i}$ .
По формулам (17.16)
$\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$   
$\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$   
 

Ответ: $ x_1=1-2i$ , $ x_2=-3+i$ .         

Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена.

        Теорема 17.1   Любой многочлен ненулевой степени с коэффициентами из поля комплексных чисел имеет в этом поле хотя бы один корень.    

Данная теорема по традиции называется основной теоремой алгебры. Доказательство ее достаточно сложное и поэтому здесь оно не приводится.

Интересно выяснить, сколько корней имеет многочлен степени $ n$ . Мы уже знаем, что если $ {n=1}$ , то корень один, если $ {n=2}$ , то, как учили в школе, корней два. Кроме того, мы уже выяснили, что многочлен $ {z^n+c}$ имеет ровно $ n$ различных корней, если $ {c\ne0}$ .

        Теорема 17.2   Для любого многочлена ненулевой степени в поле комплексных чисел справедливо разложение на множители:
$\displaystyle a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n=a_n(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n),\quad a_n\ne0.$(17.17)
 

    

Доказательство пропускаем. Читатель может найти его в [5].

Очевидно, что в указанном разложении числа $ z_1$ , $ z_2$ ,..., $ z_n$ являются корнями многочлена и других корней у него быть не может. Однако среди чисел $ {z_1,\,z_2,\ldots,\,z_n}$ могут быть и одинаковые. Поэтому корней может быть меньше, чем $ n$ . Число одинаковых скобок в разложении (17.17) называется кратностью соответствующего корня. Например, если

$\displaystyle a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4=a_4(z-i)^2(z+1-2i)(z+5),$

то $ i$  -- корень кратности 2, $ -1+2i$ и $ -5$  -- корни кратности 1 или, иначе, простые корни.

Из предыдущей теоремы легко получить теорему, дающую ответ на вопрос о числе корней многочлена.

        Теорема 17.3   В поле комплексных чисел любой многочлен ненулевой степени $ n$ имеет ровно $ n$ корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.     

По вопросу практического нахождения корней стоит отметить следующее. Для нахождения корней многочленов третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие выразить корни многочлена через его коэффициенты. Для многочлена третьей степени -- это формула Кардано. Нахождение корней многочлена четвертой степени сводится к нахождению корней многочлена третьей степени методом, принадлежащим Феррари. Для многочленов выше четвертой степени доказано, что их корни нельзя выразить через их коэффициенты с помощью радикалов.

Однако, даже для многочленов третьей и четвертой степени, как правило, корни находят без использования указанных выше формул, так как те дают очень громоздкие выражения. Обычно корни находят приближенно, с помощью различных вычислительных алгоритмов (см. главу 9).

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0. Уравнение прямой, проходящей через две точки.  Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:  Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.  На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: если х1 ¹ х2 и х = х1, еслих1 = х2. Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.  Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Математический анализ Типовые расчеты по математике