Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$. Если функция $ f(x)$ не убывает в некоторой левой окрестности $ E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)$ точки $ x_0$ и не возрастает в некоторой её правой окрестности $ E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума.

Если же функция $ f(x)$ не возрастает в некоторой левой окрестности $ {E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)}$ и не убывает в некоторой правой окрестности $ {E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)}$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если $ f(x)$ не убывает в $ E_-$, то $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ x\in E_-$, поскольку из непрерывности $ f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$. Точно так же, $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ {x\in E_+}$. Выберем из чисел $ {\delta}_1$ и $ {\delta}_2$ наименьшее: $ {\delta}=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ и рассмотрим симметричную окрестность $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$. При $ x\in E$, очевидно, $ f(x)\leqslant f(x_0)$, то есть $ x_0$ -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить $ f_1(x)=-f(x)$ и заметить, что функция $ f_1$ не убывает в $ E_-$ и не возрастает в $ E_+$; локальный максимум функции $ f_1$ соответствует локальному минимуму функции $ f$.     

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке $ x_0$. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию $ f(x)$, которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке $ x_0$, однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+x^2\sin^2\frac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

График этой функции зажат между двумя параболами $ y=x^2$ и $ y=2x^2$ и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что $ f(x)$ не монотонна ни на каком интервале вида $ (-{\delta};0)$ или $ (0;{\delta})$. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех $ x\ne0$ $ f(x)\geqslant x^2>0$.

Заметим кстати, что производная этой функции равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x+2x\sin^2\frac{1}{x}-\sin\frac{2}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

Эта производная имеет в точке $ x=0$ разрыв второго рода.     

[an error occurred while processing this directive]

        Теорема 7.6   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$, и у этой функции существует производная $ f'(x)$ в некоторой проколотой окрестности $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$. Если при этом в левой окрестности $ (x_0-{\delta};x_0)$ имеет место неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, а в правой окрестности $ (x_0;x_0+{\delta})$ -- неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, а в правой окрестности -- неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка $ x_0$ не является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства $ f'(x)\geqslant 0$ следует неубывание функции $ f(x)$, а из неравенства $ f'(x)\leqslant 0$ -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.     

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами


Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная $ f'(x)$ меняет знак с $ +$ на $ -$ при переходе через критическую точку $ x_0$, то в этой точке -- локальный максимум функции $ f(x)$; если знак производной меняется с $ -$ на $ +$, то в точке $ x_0$ -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через $ x_0$ не изменяется, то локального экстремума в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке $ x_0$ (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7   Пусть $ x_0$ -- стационарная точка функции $ f(x)$, и в этой точке существует вторая производная $ f''(x_0)$, причём $ f''(x_0)\ne0$. Тогда при $ f''(x_0)<0$ точка $ x_0$ есть точка локального максимума, а при $ f''(x_0)>0$ -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку $ f''(x)=(f'(x))'$, то по определению производной

$\displaystyle f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}.$

Пусть $ f''(x_0)<0$. Тогда из существования предела следует, что для любого $ x\ne x_0$ из некоторой достаточно малой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$ точки $ x_0$ выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

$\displaystyle \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0$

при $ x\in E$. Поскольку, по предположению теоремы, $ x_0$ -- стационарная точка, то $ f'(x_0)=0$, откуда $ \dfrac{f'(x)}{x-x_0}<0$, то есть $ f'(x)$ имеет знак, противоположный знаку $ x-x_0$: $ f'(x)>0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ f'(x)<0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что $ x_0$ -- точка локального максимума.

Доказательство для случая $ f''(x_0)>0$ совершенно аналогично.     

Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов функций.

  3.1. Определение 1. Функция  называется бесконечно малой при  (или ), если  (или ).

Так как , то при  -бесконечно малая. Однако  не является бесконечно малой при , так как  Одна и та же функция может быть бесконечно малой или не быть в зависимости от предельного значения x0. Есть функции, например x2+1, которые не могут быть бесконечно малыми ни при каких условиях.

Определение 2. Две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.

 

При вычислении пределов часто применяется следующая Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых (неопределенность ) равен пределу отношения двух других бесконечно малых, эквивалентных данным, т.е.

 

Отметим также: если , то .

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Математический анализ Типовые расчеты по математике