Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


     Пример 7.24   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; решая уравнение $ 4x^3-4x=0$, находим стационарные точки функции $ f(x)$: это $ x_1=-1;x_2=0;x_3=1$. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: $ {f''(x)=12x^2-4}$. Отсюда $ {f''(x_1)=f''(-1)=12-4=8>0}$, следовательно, в точке $ x_1=-1$ функция $ f(x)$ имеет локальный минимум; то же в точке $ x_3=1$, поскольку $ f''(1)$ также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно $ f(\pm1)=1^4-2\cdot1^2=-1$.

В точке $ x_2=0$ получаем $ {f''(0)=12\cdot0^2-4=-4<0}$, поэтому в точке 0 функция $ f(x)$ имеет локальный максимум. Значение $ f(x)$ в этой точке равно 0.     


Рис.7.26.Три локальных экстремума функции $ f(x)=x^4-2x^2$


        Замечание 7.5   В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке $ x_0$ в случае, когда $ f''(x_0)=0$. В этом случае в точке $ x_0$ может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.     

        Пример 7.25   Функция $ f(x)=x^3$ имеет единственную стационарную точку $ {x_0=0}$. Вторая производная $ f''(x)=6x$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ не имеет экстремума в точке 0.     

Рис.7.27.Функция $ f(x)=x^3$ не имеет экстремума в стационарной точке 0


        Пример 7.26   Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Вторая производная $ f''(x)=12x^2$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ имеет в точке 0 минимум.     

Рис.7.28.Функция $ f(x)=x^4$ имеет минимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


        Пример 7.27   Функция $ f(x)=-x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Её вторая производная $ f''(x)=-12x^2$ принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция $ f(x)$ имеет в этой точке максимум.     

Рис.7.29.Функция $ f(x)=-x^4$ имеет максимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


Для того, чтобы разобраться в поведении функции $ f(x)$ в такой стационарной точке $ x_0$, в которой $ f''(x_0)=0$, можно применить такую теорему:

        Теорема 7.8   Пусть функция $ f(x)$ имеет $ k$-ю производную в некоторой окрестности точки $ x_0$ и эта производная $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$. Предположим, что

$\displaystyle f'(x_0)=0,\;f''(x_0)=0,\;\dots,\;f^{(k-1)}(x_0)=0,\;f^{(k)}(x_0)\ne0.$

Тогда, если число $ k$ -- нечётное, то в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет локального экстремума; если же число $ k$ -- чётное, то при $ f^{(k)}(x_0)<0$ в точке $ x_0$ функция имеет локальный максимум, а при $ f^{(k)}(x_0)>0$ -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить $ f(x)$ по формуле Тейлора в точке $ x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k$

(где $ x_{{\theta}}$ лежит между $ x$ и $ x_0$), поскольку слагаемые со степенями бинома $ x-x_0$, меньшими $ k$, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f=\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k.$

Поскольку $ f^{(k)}(x_0)\ne0$ и $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, то в некоторой окрестности точки $ x_0$ она сохраняет тот же знак, что у числа $ f^{(k)}(x_0)\ne0$, в частности, знак числа $ \dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}$ при $ x$, близких к $ x_0$, -- тот же, что у числа $ f^{(k)}(x_0)$.

Мы видим, что при нечётном $ k$ приращение $ {\Delta}f$ меняет знак при переходе через точку $ x_0$, поскольку меняет знак множитель $ (x-x_0)^k$ в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке $ x_0$ нет.

При чётном $ k$ этот множитель положителен при всех $ x\ne x_0$, следовательно, приращение $ {\Delta}f$ (при малых $ x-x_0\ne0$) имеет тот же знак, что и $ f^{(k)}(x_0)$: $ {\Delta}f<0$ при $ f^{(k)}(x_0)<0$ (неравенство $ {\Delta}f<0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального максимума) и $ {\Delta}f>0$ при $ f^{(k)}(x_0)>0$ (неравенство $ {\Delta}f>0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального минимума).     

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке $ x_0$ обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет стационарную точку $ x_0=0$, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Однако очевидно, что $ f(x)>0$ при всех $ x\ne0$, так что $ x_0=0$ -- точка минимума функции $ f(x)$.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной $ k$-го порядка в точке $ x_0$, даже если эта производная существует при всех $ x$. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^4\left(2+\sin\frac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке $ x=0$. Производная этой функции существует при всех $ x$ и равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\left[4x\left(2+\sin\frac{1}{x... ...ac{1}{x}\right],&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.     

 Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C; .  Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Свойства операции умножения матриц. 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А×Е = Е×А = А   Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулевая матрица.  2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство: (АВ)С=А(ВС).  3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.  4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB).  5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: (АВ)Т = ВТАТ, где индексом Т обозначается транспонированная матрица.   6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже.   

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. А = ; В = АТ=; другими словами, bji = aij.  В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)T = CTBTAT, при условии, что определено произведение матриц АВС.  

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Математический анализ Типовые расчеты по математике