Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.
Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))$(7.4)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.
Аналогично определяется выпуклость вверх: функция $ f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при . Это означает, что
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\geqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0)$(7.5)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.     

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций

Легко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$

Уравнение плоскости в отрезках.  

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:  Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.  где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),  - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра.  В координатах это уравнение имеет вид: xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.  Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

 Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.   Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

[an error occurred while processing this directive]

 Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.  Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости.   Получаем:

 Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.   Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.  

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.  Находим координаты вектора нормали = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р: 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169  Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Математический анализ Типовые расчеты по математике