Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

 Пример 1.13   Пусть $ f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ -- функция, заданная во всех точках плоскости $ \mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$. Пусть $ \wt A=l$ -- прямая $ x_2=1$ на плоскости $ \mathbb{R}^2$. Тогда функция $ \wt f(x)=f\vert _l(x)$ равна $ x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2$. Формально ограничение зависит от точек $ (x_1,x_2)$ плоскости $ \mathbb{R}^2$, но только таких, что $ x_2=1$. Поэтому задание этого ограничения $ \wt f(x_1,x_2)$ эквивалентно заданию числовой функции одного переменного $ g(x_1)=x_1^2+2x_1+2$. Функция $ g$ -- это одна из возможных параметризаций функции $ f\vert _l$.     

        Замечание 1.4   Во многих учебных примерах при задании функции $ f$ при помощи формулы не указывают область определения $ \mathcal{D}(f)$. При этом по умолчанию предполагается, что область определения $ \mathcal{D}(f)$ -- максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента $ x$, для которых задающее функцию $ f$ выражение $ f(x)$ имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область $ \mathcal{D}(f)$, если в этом возникнет необходимость.     

        Пример 1.14   Пусть функция $ f$ задана формулой

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}.$

По умолчанию считается, что области $ \mathcal{D}(f)$ принадлежат все те точки $ x\in\mathbb{R}$, что $ {x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}$. Разумеется, для каждой заданной точки $ x_0$ проверить это условие несложно, однако описать множество $ \mathcal{D}(f)$ в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить "в явном виде" данное неравенство.     

Если $ \mathcal{D}(f)$ -- это множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$, то функция $ f:\mathbb{N}\to B$ называется последовательностью. Так как $ \mathbb{N}$ содержит бесконечное множество чисел $ 1,2,3,\dots$, то задать $ f$ в виде таблицы значений $ y_n=f(n)$, где $ n\in\mathbb{N}$, вообще говоря, нельзя. Однако если функция $ f(n)$ легко угадывается по своим значениям $ y_n$ при небольших $ n$, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

 

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

Относительно подынтегральной функции $ f(x)$ мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.

Вычислять значение интеграла $ I$ мы будем по значениям функции $ f(x)$ в некоторых точках отрезка $ x_i$ . Эти значения $ y_i=f(x_i)$ мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям $ y_i$ приближённо определить значение $ I$ , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции $ f(x)\geqslant 0$ . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При $ f(x)\geqslant 0$ вычислить интеграл $ I$ значит найти площадь под графиком $ y=f(x)$ , расположенную над отрезком $ [a;b]$ . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n-1}$ и положим $ x_0=a$ и $ x_n=b$ (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка $ [a;b]$ состоит из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ при $ i=1,\dots,n$ . Вместо площади под графиком, равной $ I$ , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ (см. рис.).

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции