Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Пусть в пространстве задана некоторая ось $ l$ , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка $ O$ и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 10.21 Проекцией точки$ A$ на ось $ l$ называется число, соответствующее основанию перпендикуляра $ AB$ , опущенного на ось $ l$ из точки $ A$ .

Определение 10.22 Проекцией вектора $ \overrightarrow {AB}$ на ось$ l$ называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекцию будем обозначать $ Пр_l\,\overrightarrow {AB}$ . На рис. 10.18 $ { Пр_l\,\overrightarrow {AB} ={\beta}-{\alpha}}$ .




Рис.10.18.Проекция вектора на ось

[an error occurred while processing this directive]

Легко проверить, что если $ {\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD}}$ , то $ { Пр_l\,\overrightarrow {AB} =Пр_l\,\overrightarrow {CD}}$ , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

Предложение 10.13 Пусть $ {\varphi}$ -- угол, образованный вектором a с осью $ l$ . Тогда $ { Пр_l{\bf a}=\vert{\bf a}\vert\cos{\varphi}}$ .

Доказательство. Пусть угол $ {\varphi}$ -- острый. Тогда в соответствии с рис. 10.19 получим $ {{\beta}-{\alpha}=\vert{\bf a}\vert\cos{\varphi}}$ .




Рис.10.19.


Если угол $ {\varphi}$ тупой, то в соответствии с рис.10.20 находим $ {{\alpha}-{\beta}=-\vert{\bf a}\vert\cos\psi}$ ,




Рис.10.20.


откуда $ {\beta}-{\alpha}=\vert{\bf a}\vert\cos{\varphi}$ .

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями $ S_i$ прямоугольников, основанием которых служит отрезок $ [x_{i-1};x_i]$ на оси $ Ox$ , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке $ x_{i-1}$ , либо в точке $ x_i$ . Тогда в первом случае площадь $ S_i$ равняется $ f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$ , а во втором $ S_i=f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ .

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по $ i$ от $ i=1$ до $ i=n$ , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

$\displaystyle I\approx I_l=\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})(x_i-x_{i-1}),$

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

$\displaystyle I\approx I_r=\sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Рис.5.2.



Из приведённого чертежа ясно, что ошибки $ {\varepsilon}_l=I-I_l$ и $ {\varepsilon}_r=I-I_r$ , которые возникают при замене точного значения интеграла $ I$ на его приближённое значение $ I_l$ или $ I_r$ соответственно, обладают такими свойствами:

если функция $ f(x)$ возрастает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_l>0$ , поскольку $ I>I_l$ ;

если функция $ f(x)$ убывает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_l<0$ , поскольку $ I<I_l$ ;

если функция $ f(x)$ возрастает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_r<0$ , поскольку $ I<I_r$ ;

если функция $ f(x)$ убывает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_r>0$ , поскольку $ I>I_r$ .

Таким образом, в случае монотонной функции $ f$ ошибки $ {\varepsilon}_l$ и $ {\varepsilon}_r$ имеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чисел $ I_l$ и $ I_r$ за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_{rl}=\frac{1}{2}(I_l+I_r)= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для $ I_l$ и $ I_r$ , из которых она возникла, на практике при=меняются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки $ {\varepsilon}_l$ и $ {\varepsilon}_r$ слишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Гораздо большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.

Математический анализ Типовые расчеты по математике